I alle oppgavene må du vise full utregning for å få full uttelling.
Oppgave 1
Et plan [tex]\alpha[/tex] går gjennom punktet [tex]A(1, -2, 1)[/tex] og er parallelt med vektorene [tex]\left[1,2,0\right][/tex] og [tex]\left[2,-1,1\right][/tex].
a)
(1)
Vis at likningen for planet [tex]\alpha[/tex] er:
[tex]2x-y-5z+1=0[/tex]
(2)
Finn en parameterfremstilling for planet [tex]\alpha[/tex].
b)
Et annet plan [tex]\beta[/tex] har likningen:
[tex]x+3y+z+2=0[/tex]
(1)
Undersøk om punktet [tex]B(3, -1, -2)[/tex] ligger i planet [tex]\beta[/tex].
(2)
Finn vinkelen mellom [tex]\alpha[/tex] og [tex]\beta[/tex].
c)
Et plan [tex]\gamma[/tex] står normalt på både [tex]\alpha[/tex] og [tex]\beta[/tex] og går gjennom punktet [tex]A[/tex]. Finn likningen for dette planet.
Oppgave 2
a) Ei kule har sentrum i [tex]S(2, -1, 4)[/tex]. Punktet [tex]P(4,-3,5)[/tex] ligger på kuleoverflaten.
(1)
Vis at kula har radius 3.
(2)
Finn likningen til kula.
b)
Ei rett linje [tex]l[/tex] er gitt ved parameterfremstillingen
[tex]l: \; \left{ {x = 3t \\ y=-2+3t \\ z = 6-4t} \right.[/tex]
Finn skjæringspunktene mellom kula og [tex]l[/tex].
c)
Finn sentrum og radius i kula gitt ved ligningen
[tex]x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z=3[/tex]
d)
Et plan [tex]\pi[/tex] er gitt ved likningen
[tex]2x-2y+z-d=0[/tex]
Bestem [tex]d[/tex] slik at avstanden mellom punktet [tex]P(1,0,1)[/tex] og planet blir lik [tex]3[/tex].
Oppgave 3
På en flyplass plasserer vi et koordinatsystem med [tex]x[/tex]-aksen mot øst, [tex]y[/tex]-aksen mot nord og [tex]z[/tex]-aksen rett opp. Lengdene i denne oppgaven er i kilometer, og tiden [tex]t[/tex] i minutter. Et fly som kommer inn for landing har etter [tex]t[/tex] minutter posisjonen:
[tex]l: \; \left{ {x = 3+2t \\ y=-4+5t \\ z = 2-0,1t} \right.[/tex]
a) Hvor lang tid tar det før flyet lander?
b) Andrepilot Hansen spør om førstepilot Kristiansen kan finne avstanden fra punktet [tex]A(0,1,3)[/tex] til flybanen. Kristiansen er heller ustø i vektorregning. Kan du hjelpe ham?
(Hansen og Kristian er to gutter i klassen. Morsomt.)
Oppgave 4
Et telt står i en bratt bakke. Teltet har trekanten grunnflate [tex]ABC[/tex] og har tre stenger [tex]AT[/tex], [tex]BT[/tex] og [tex]CT[/tex]. Vi legger inn et koordinatsystem med origo i A. Enheten langs aksene er meter. Punktene har da koordinatene [tex]A(0,0,0)[/tex], [tex]B(5,1,0)[/tex], [tex]C(8,5,3)[/tex] og [tex]T(2,3,6)[/tex].
a)
Finn lengden av stengene [tex]AT[/tex] og [tex]BT[/tex].
b)
Finn arealet av grunnflaten i teltet.
c)
La [tex]D[/tex] være et punkt på stanga [tex]CT[/tex]. Vis at det finnes et tall [tex]t[/tex] slik at:
[tex]\vec{BD} = [3-6t, 4-2t, 3+3t][/tex]
d)
Et stag går fra punktet [tex]B[/tex] til stanga [tex]CT[/tex]. Staget står vinkelrett på stanga. Finn koordinatene til det punktet der staget er festet i stanga [tex]CT[/tex].
Lykke til!
Det ble knapt med tid for de fleste, men jeg ble akkurat ferdig. Litt utfordrende prøve, noe som jo kan være gøy. Kjekt om noen får bruk for denne prøven, og kanskje noen vil legge inn noen svar/løsningsforslag?
