Fluks, Stoke's/Div. setningen +...

[meCarnival]

Jeg sliter litt med en øving som skal inn i løpet av dagen... prøvd å forstå meg ved å lese, gått glipp av en god del timer på nyåret/januar... Håper noen kan hjelpe meg med å forstå denne, så har jeg to uker å øve på til eksamen.. Får ikke gå opp hvis ikke denne blir godkjent...

Det er fire oppgaver, men satser på å kanskje få klart tre av de...

Oppgave 1
Et flatestykke S er i kulekoordinater gitt ved [tex]S = \{p, \varphi, \theta\| p = 1, 0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{3}, 0 \leq \theta \leq 2\pi \}[/tex].
Bestem tyngepubnktet til S når tettheten er 1 overalt på S.

- Jeg fant ikke tyngdepunkt et sted nevnt i mine notater, men blir det kun et dobbeltintegral siden [tex]p = 1[/tex]?

[tex]\int_0^{\frac{\pi}{3}} \int_0^{2\pi} 1^2 sin \varphi d\theta d\varphi = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \int_0^{2\pi} sin \varphi d\theta d\varphi = 2\pi \int_0^{\frac{\pi}{3}} sin \varphi d\varphi = -2\pi \(cos\(\frac{\pi}{3}\) - 1\) = \pi[/tex]

På jordet, skulle jo finne et punkt


Oppgave 2
La C være den lukkede kurven som er sammensatt av de tre orienterte linjestykkene [tex]P_1P_2[/tex], [tex]P_2P_3[/tex] og [tex]P_3P_1[/tex], der [tex]P_1 = (0,0,0)[/tex], [tex]P_2 = (3,0,0)[/tex] og [tex]P_3 = (2,2,1)[/tex]
Beregn linjeintegralet [tex]\oint_C \vec{F} d \vec{R}[/tex] når [tex]\vec{F} = \[y, y+3x, z\][/tex] på to måter:

a) Direkte integrasjon

b) Stoke's setning


Oppgave 3
Gitt flatestykket [tex]S = \{\(x,y,z\) \| \, z=x^2+y^2-4, z \leq 0\}[/tex] og vektorfeltet [tex]\vec{F} = \[-y^2,-z^2, -x^2\][/tex]

a)Beregn fluksen [tex]\iint_S \vec{F} \vec{n}dS[/tex] ved hjelp av divergenssetningen.
- Anta at [tex]\vec{n}[/tex] har negativ z-komponent

b)
Vis sammenhengen [tex]\vec{F} = curl \vec{G}[/tex], der [tex]\vec{G} = \[x^2y, y^2z, z^2x\][/tex].
Bruk dette til å beregne fluksen i a) på nytt; denne gangen ved hjelp av Stoke's setning.


Oppgave 4
Gitt vektorfeltet [tex]\vec{F} = \[3x^2z - 2xy^2, -2x^2y, x^3\][/tex]
a) Vis at feltet er konservativt og bestm en potensialfunksjon for feltet.
b) Beregn linjeintegralet av [tex]\vec{F}[/tex] fra punktet [tex]P = (1,0,1)[/tex] til punktet [tex]Q = (-1,1,0)[/tex] langs kurven med parameterframstilling [tex]x = cos(2t), y = sin t, z = e^t cos t[/tex]
- b får jeg se på til uka istedenfor hvertfall


Er det noe jeg ikke liker i matematikken så er det vektorer. Mange synes dette er lekegrind, men her vrenger hode mitt seg, så setter stor pris på litt hjelp en søndagskveld.. Bare jeg får gjort oppgavene ferdig i kveld, fører jeg i natt for den saks skyld =)... Takker for alle innspill og all hjelp

[meCarnival]

Oppgave 3
b)

Får [tex]\nabla G = \[z^2x-y^2, x^2y-z^2, y^2z-x^2\][/tex]

[tex]\vec{n}dS = \pm\[\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},-1\]dA = \[2x,2y,-1\]dA[/tex]


[tex]\oint_C \vec{F} \cdot \vec{n}dS = \iint_S (curlG) \cdot \vec{n}dS = \iint_R \[z^2x-y^2, x^2y-z^2, y^2z-x^2\] \cdot \[2x, 2y, -1\] dA[/tex]

På jordet nå føler jeg... Jeg tenker også grenser [tex]\int_0^{2\pi}\int_0^2[/tex]

[Gustav]

1)

Ta utgangspunkt i posisjonsvektoren til punkter på flata.

Integrerer du denne over hele flata og deler på totalarealet av flata, vil du ende opp med posisjonsvektoren til tyngdepunktet.

[Gustav]

2)

Her må du dele opp linjeintegralet i 3 rette linjer. Start med å finne (konstante) enhetsvektorer for de tre linjestykkene, som peker parallelt med linjene. Det kan være lurt å tegne opp punktene i rommet slik at du får en feeling med hvordan flaten ligger i rommet.

[Janhaa]

4a)
jeg mener du må vise uttrykket under, for å bekrefte at vektorfeltet er konservativt.

[tex]\text curl\, \vec F=\nabla\times \vec F =\vec 0[/tex]

[tex]\large\left|\begin{matrix}\vec i&\vec j&\vec k\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\3x^2z-2xy^2&-2x^2y&x^3 \end{matrix}\right|=[0,-3x^2+3x^2,-4xy+4xy]=[0,0,0]=\vec 0[/tex]

-----------------------------
potensialfunksjonen (f) er jeg mer usikker på, men sammenhengen mellom den og F, er

[tex]\vec F=\nabla f[/tex]