Ingen simple grupper av orden 36

[Lord X]

Hei

Leser for tida i Fraleigh's "A first course in abstract algebra". I kapittel 37 er det eit eksempel der ein viser at det ikkje finst nokon simple grupper av orden 36. Men det er ein ting i "beviset" eg ikkje forstår:

Vha. Sylow teorema finn vi at antall undergrupper av orden 9 er enten 1 eller 4. Dersom det er 1, er denne normal. Dersom vi har 4, la H og K vere to slike. Då vil [tex]|H\cap{K}|=3[/tex], ettersom [tex]|H\cap{K}|=1[/tex] ville implisert at [tex]|HK|=|H||K|/|H\cap{K}|=(9*9)/1=81>36[/tex] (og H og K er ulike, så snittet kan ikkje ha 9 element). Dette er ok.

Men så blir det sagt at då må [tex]N[H\cap{K}][/tex] må ha orden eit multippel >1 av 9 (som sjølvsagt også er ein divisor av 36). Men kvifor er dette tilfellet? Kvifor kan den ikkje ha orden 3 eller 9? Kan det vere at [tex]H\cap{K}[/tex] er normal i H og K? Men i så fall: korleis vise dette?

Resten av beviset er også ok.

Svaret er sikkert heilt "obvious", men...

[Gustav]

Godt spørsmål, jeg skjønner heller ikke helt argumentet for hvorfor normalisatoren til snittet av to sylow 3-undergrupper må ha orden et multippel >1 av 9. De fleste andre bevisene jeg har sett for dette bruker et litt annet argument med en homomorfi fra [tex]G[/tex] til [tex]S_4 [/tex] og viser at kernelen til denne er ikketriviell, så derfor er den en ikke-triviell normal undergruppe til G. (eller noe slikt)

Jeg antar at normalisatoren minst må ha orden 9, for det er vel slik at for enhver 3-undergruppe av orden 3 fins det en 3-undergruppe av orden 9 slik at den første er normal i den andre.

Men jeg skjønner ikke helt hvorfor ikke normalisatoren kan ha orden 9 eller 12.

[Lord X]

Ok, bra det ikkje berre er eg som ikkje forstod det heilt..

[Charlatan]

Det følger ganske direkte fra det at [tex](N[H \cap K] : H \cap K) \equiv (G : H \cap K) \equiv 0 (\text{mod}3)[/tex].

[Gustav]

Ok, dette forklarer at normalisatoren ikke kan ha orden 12, men det forklarer vel ikke hvorfor ikke normalilsatoren kan ha orden 9 ...?

[Charlatan]

Siden H og K er abelske, kan vi se at de er begge inneholdt i [tex]N[H \cap K][/tex], og siden H og K er ulike, må [tex]N[H \cap K][/tex] ha større orden enn 9. Det følger dessuten kun fra dette at [tex]N[H \cap K][/tex] har orden et multippel av 9. Litt rart at eksempelet hoppet til den konklusjonen uten videre, men man skal vel kanskje fylle detaljer ut selv.

[Gustav]

Hm, at H og K er abelske er vel ikke nødvendigvis gitt

[Charlatan]

Siden de har orden 9, som er kvadratet av et primtall, så er de abelske. Burde ha nevnt over.

[Gustav]

ah, utrolig hva man glemmer når man tenker for vanskelig

[Lord X]

Ok, forstod det nå. Tusen takk!