Stusser litt over obligen i MAT2400 (Analyse 1) nå. I oppg 3c skal vi vise at en funskjon er kontinuerlig hvis den oppfyller skjæringsegenskapen og en annen egenskap.
Det jeg lurer på, er følgende: Finnes det funksjoner som oppfyller skjæringsegenskapen, men som ikke er kontinuerlige?
(Skjæringsegenskapen: Hvis a < b og f(a) < c f(b) eller f(a) > c > f(b) så eksisterer d slik at f(d)=c)
Skjæringsegenskap og kontinuitet
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Jeg tror ikke det. Kontinuitet brukes jo i beviset for skjæringsegenskapen.
Tror heller dette bare er ment som en øvelse i å bruke definisjoner og teoremer til å utføre et bevis.
Tror heller dette bare er ment som en øvelse i å bruke definisjoner og teoremer til å utføre et bevis.
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Lao Tzu
Ja, sant. Men selv om kontinuitet impliserer skjæringsegenskap, så betyr ikke det nødvendigvis at skjæringsegenskap impliserer kontinuitet.Kontinuitet brukes jo i beviset for skjæringsegenskapen.
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Ouff! Merker jeg må varme opp noen hjerneceller som har ligget i dvale noen år nå.
Det ser uansett ut til at du har rett. Måtte fyre opp MS Paint.
Hvis vi antar a<b og f(a)<f(b). Hvis du nå velger en verdi x slik at f(a)<x<f(b) så skal du alltid kunne finne en c € [a,b] slik at x = f(c).

Funksjonen på høyre oppfyller vel skjæringsegenskapen, men er ikke kontinuerlig.
Man unngår det hvis man antar at den er injektiv i tillegg.

Det ser uansett ut til at du har rett. Måtte fyre opp MS Paint.

Hvis vi antar a<b og f(a)<f(b). Hvis du nå velger en verdi x slik at f(a)<x<f(b) så skal du alltid kunne finne en c € [a,b] slik at x = f(c).

Funksjonen på høyre oppfyller vel skjæringsegenskapen, men er ikke kontinuerlig.
Man unngår det hvis man antar at den er injektiv i tillegg.
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Lao Tzu
Tror ikke den til høyre oppfyller skjæringsegenskapen. La m være slik at f(m)={det punktet oppe akkurat før "hakket"} og la n være et tall slik at f(n) er nedenfor hakket. Da eksisterer det ingen k [tex]\in (m,n)[/tex] slik at f(k)={noe mellom f(m) og f(n)}.
(stygg notasjon, men vanskelig å ordlegge seg av og til)
(stygg notasjon, men vanskelig å ordlegge seg av og til)
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Ok, men teoremet sier vel ikke noe om alle delintervaller?
Slik teoremet står her (versjon 1):
http://en.wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem
tolker jeg det som at funksjonen til høyre oppfyller de betingelsene.
Slik teoremet står her (versjon 1):
http://en.wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem
tolker jeg det som at funksjonen til høyre oppfyller de betingelsene.
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Lao Tzu
Ikke teoremet, men skjæringsegenskapen.
Men spørsmålet mitt ble egentlig besvart i artikkelen du linket til.
Men spørsmålet mitt ble egentlig besvart i artikkelen du linket til.
Suppose f is a real-valued function defined on some interval I, and for every two elements a and b in I and for all u in the open interval bounded by f(a) and f(b) there is a c in the open interval bounded by a and b so that f(c) = u. Does f have to be continuous? The answer is no; the converse of the intermediate value theorem fails.
As an example, take the function f : [0, ∞) → [−1, 1] defined by f(x) = sin(1/x) for x > 0 and f(0) = 0. This function is not continuous at x = 0 because the limit of f(x) as x tends to 0 does not exist; yet the function has the above intermediate value property.
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Jeg tenker slik:
Siden [tex]f(t_n)=r[/tex] for alle n, konvergerer [tex]f(t_n)[/tex] mot r, og siden den omtalte mengden er lukket, må [tex]x_0[/tex] være med i mengden. Men dette er en selvmotsigelse siden vi antok at [tex]r < f(x_0)[/tex]
Siden [tex]f(t_n)=r[/tex] for alle n, konvergerer [tex]f(t_n)[/tex] mot r, og siden den omtalte mengden er lukket, må [tex]x_0[/tex] være med i mengden. Men dette er en selvmotsigelse siden vi antok at [tex]r < f(x_0)[/tex]
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Ja, det stemmer. Eventuelt kunne du vist at t_n går mot x_0, og siden vi vet at x_0 ikke er i inversebildet f^-1(r) vil x_0 måtte være i komplementet. Men siden enhver omegn om x_0 vil inneholde elementer fra følgen t_n, vil ikke komplementet kunne være åpent, så inversbildet er ikke lukket.
Dette stemmer vel ikke generelt for funksjoner. Prøver oppgaven å vise på generelt grunnlag at funksjoner som ikke er kontinuerlige heller ikke tilfredsstiller skjæringssegenskapen?plutarco wrote:Poenget med oppgaven er å bruke nettopp dette med at inversebildet av et rasjonalt tall r er lukket.
Ifølge oppgaven er dette noe man skulle anta var sant såvidt jeg skjønner.
Det står at man skal anta at for hvert rasjonalt tall r er mengden {x:f(x)=r} lukket
På generelt grunnlag er det vel ikke riktig nei, men med denne tilleggsbetingelsen er det tydeligvis slik
Det står at man skal anta at for hvert rasjonalt tall r er mengden {x:f(x)=r} lukket
På generelt grunnlag er det vel ikke riktig nei, men med denne tilleggsbetingelsen er det tydeligvis slik
Last edited by Gustav on 12/03-2010 09:48, edited 1 time in total.
Ja, riktig. Oppgaven belyste altså ikke spørsmålet om at skjæringsegenskapen medførte kontinuitet. Virket for meg som det var poenget.plutarco wrote:Ifølge oppgaven er dette noe man skulle anta var sant såvidt jeg skjønner.
Det står at man skal anta at for hvert rasjonalt tall r er mengden {x:f(x)=r} lukket