Vis at f:[0,1]->R er riemann-integrerbar på[0,1]:
f(x)= { 1 for x= 1/n, n = 1,2,3,...
2 for x = 1-1/n, n = 3,4,5,...
0 ellers
Jeg forstår ikke helt hvordan man viser dette med Riemann-integrerbar, og har aldri vert borti 3 ulike rader.. (de 3 radene skal alle vere i { )
Riemann-integrerbar
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Siden f: [0,1]-> R er begrenset vil både det øvre og nedre integralet eksistere.
La [tex]P=\{x_i\}[/tex] være en partisjon av intervallet [0,1]
La
[tex]M_i = \sup (f(x): x_i \leq x\leq x_{i+1})[/tex]
og
[tex]m_i = \inf (f(x): x_i \leq x\leq x_{i+1})[/tex]
Hvis
[tex]\inf_{P} \left (\sum_i M_i (x_{i+1}-x_i) \right )=\sup_{P} \left (\sum_i m_i (x_{i+1}-x_i) \right )[/tex] er f Riemann-integrabel.
Siden f er ikkenegativ, skulle jeg tro at det for din funksjon skulle være nok å vise at venstresida er 0. Jeg tror kanskje at du kan gjøre det ved å vise at for enhver e>0 fins det en partisjon P slik at den øvre riemannsummen er mindre enn e.
Hint:
På delintervallet [0,1/2], bruk f.eks partisjonen bestående av punktene [tex]\{ \frac{1}{m}, \frac{1}{i}\pm \frac{1}{2(m-1)m}\}\, i\in \, \{2,..., m-1 \}[/tex]. Da blir den øvre Riemannsummen [tex]\frac{1}{m}+ \frac{1}{(m-1)m}\cdot (m-2)< \frac{2}{m}[/tex]. Du kan få denne summen så liten som mulig ved å velge m stor nok. (velg e=2/m)
La [tex]P=\{x_i\}[/tex] være en partisjon av intervallet [0,1]
La
[tex]M_i = \sup (f(x): x_i \leq x\leq x_{i+1})[/tex]
og
[tex]m_i = \inf (f(x): x_i \leq x\leq x_{i+1})[/tex]
Hvis
[tex]\inf_{P} \left (\sum_i M_i (x_{i+1}-x_i) \right )=\sup_{P} \left (\sum_i m_i (x_{i+1}-x_i) \right )[/tex] er f Riemann-integrabel.
Siden f er ikkenegativ, skulle jeg tro at det for din funksjon skulle være nok å vise at venstresida er 0. Jeg tror kanskje at du kan gjøre det ved å vise at for enhver e>0 fins det en partisjon P slik at den øvre riemannsummen er mindre enn e.
Hint:
På delintervallet [0,1/2], bruk f.eks partisjonen bestående av punktene [tex]\{ \frac{1}{m}, \frac{1}{i}\pm \frac{1}{2(m-1)m}\}\, i\in \, \{2,..., m-1 \}[/tex]. Da blir den øvre Riemannsummen [tex]\frac{1}{m}+ \frac{1}{(m-1)m}\cdot (m-2)< \frac{2}{m}[/tex]. Du kan få denne summen så liten som mulig ved å velge m stor nok. (velg e=2/m)