Dette ser ut som en området som det er går å bruke polarkoordinater på så jeg beregner skjæringen mellom linjen y = x og kurven y = 2-x^2 til
[tex]r \cos \theta = 2 - r^2 \cos^2 \theta \Leftrightarrow r^2 \cos^2 \theta + r \cos \theta -2 = 0[/tex]
Setter [tex]u = r \cos \theta[/tex] og løser andregradslikningen hvor jeg da får [tex] u = 1[/tex] som eneste positive løsing. Både r og cosinus er jo positiv i dette området. Dette gir at [tex]rcos \theta = 1 \Rightarrow r = \frac{1}{\cos\theta}[/tex]. Og området for [tex]\theta[/tex] er det greit å se at er fra [tex]\frac{\pi}{4}[/tex] til [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]. Dobbelintegralet blir da..
[tex]Areal= \iint _D dxdy = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\frac{1}{\cos \theta}} r dr d\theta = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta = \left[\frac{1}{2} \tan \theta\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}[/tex]
Men dette er jo et uegentlig integral siden tan ikke er definert i [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]. Jeg ser at jeg kanskje kunne ha gjort dette enklere uten å bytte til polarkoordinater, men det burde da la seg beregne her også?
