MMSE estimator - tips til start

[drgz]

Oppgaven lyder slik:

Consider a parameter [tex]\mathbf{\theta}[/tex] which changes with time according to the deterministic relation

[tex]\mathbf{\theta}\left[n\right] = \mathbf{A}\mathbf{\theta}\left[n-1\right]\; n\geq 1[/tex],

where [tex]\mathbf{A}[/tex] is a known [tex]p\times p[/tex] matrix and [tex]\mathbf{\theta}\left[0\right][/tex] is an unknown parameter which is modeled as a random ([tex]p\times 1[/tex]) vector. Note that once [tex]\mathbf{\theta}\left[0\right][/tex] is specified, so is [tex]\mathbf{\theta}\left[n\right][/tex] for [tex]n\geq 1[/tex]. Prove that the MMSE estimator of [tex]\mathbf{\theta}\left[n\right][/tex] is

[tex]\mathbf{\hat{\theta}}\left[n\right] =\mathbf{A}^n\mathbf{\hat{\theta}}\left[0\right][/tex],

where [tex]\mathbf{\hat{\theta}}\left[0\right][/tex] is the MMSE estimator of [tex]\mathbf{\theta}\left[0\right][/tex], or equivalently,

[tex]\mathbf{\hat{\theta}}\left[n\right] = \mathbf{A}\mathbf{\hat{\theta}}\left[n-1\right][/tex]

Spørsmålet blir da om noen har et hint til hvordan jeg skal begynne på denne. Synes oppgaven er litt annereldes enn alle andre jeg tidligere har gjort om samme emne, så står litt fast.

[drgz]

Det viste seg at denne var ganske banal bare man bruker hodet;

Vi vet at [tex]\mathbf{\theta}[n] = \mathbf{A}\mathbf{\theta}[n-1][/tex] for [tex]n\geq 1[/tex].

Da vil [tex]\mathbf{\theta}[n] = \mathbf{A}\left(\mathbf{A}\mathbf{\theta}[n-2]\right)[/tex] osv (sette inn for forrige sample til en når første sample). Dette gir [tex]\mathbf{\theta}[n] = \mathbf{A}^n\mathbf{\theta}[0][/tex].

MMSE estimatoren er

[tex]\mathbf{\hat{\theta}}[n] = \mathbb{E}\left[\mathbf{\theta}[n]|\mathbf{x}\right][/tex]

Setter en inn for tidligere samples som over får en

[tex]\mathbf{\hat{\theta}}[n] = \mathbf{A}^n\mathbb{E}\left[\mathbf{\theta}[0]|\mathbf{x}\right][/tex].

Ettersom en allerede vet at [tex]\mathbf{\hat{\theta}}[0][/tex] er MMSE estimatoren til [tex]\mathbf{\theta}[0][/tex] har en bevist det en ønsket.