absolutt maks/min for to-variabelfunksjoner

[pjuus]

Vi har fått oppgitt:

[symbol:funksjon] (x,y) = x* (e ^ -((x^2+y^2)/2))

Mitt spørsmål er:
Hvordan finner man absolutte minimumspunkt og maksimumspunkt?

Jeg har funnet de lokale maks / min.


(Jeg fant ikke hvor det stod hvordan man skriver funksjoner / matematiske uttrykk, derfor er det kanskje litt vanskelig å se hvordan funksjonen er)

[espen180]

Er det ikke bare the største maksimumet/det minstet minimumet da? Hvis du har de lokale, kan du ikke bare fine hvilket som er størst/minst?

Edit:

Funksjonsuttrykket er vel [tex]f(x,y)=xe^{-\frac{x^2+y^2}{2}}[/tex]

[pjuus]

Ja ok

Men vi må også bevise at de punktene vi har funnet faktisk er absolutt minimum og absolutt maksimum.

Jeg skjønner ikke hvordan man begrunner det?
Utenom å si at de er de største og minste verdiene. I oppgaven fant jeg minimum: (-1,0) og maksimum: (1,0)

[Dinithion]

Du må derivere med hensyn på begge variablene og finne lokale topp/bunnpunkt (Slik du har gjort?). I tillegg må du sjekke etter singulære punkt og randpunkter. Når du har funnet lokale maks/min så velger du det det minst/største punktet til å være absolutt min/maks. (Jeg har ikke sett absolutt min/maks brukt før, men antar det betyr det samme som global min/maks).

[pjuus]

Det er det samme som globale maks/min ja.

Men hvordan beviser man det?
Er det liksom nok å bare finne punktene?

(er vel ikke noe randpunkter når vi ikke har fått noe intervall?, hvordan finner man i såfall intervallet? )

[Dinithion]

Tja. Bevise og bevise. Man kan bruke teorem 1 og 2 i Calculus kap 13. (Adams og Essex). Jeg vet dog ikke hvilken bok du bruker.

Theorem 1: A function f(x,y) can have a local or absolute extreme value at point (a, b) in its domain only if (a, b) is on of the following:
(a) a critical point of f, that is, a point satisfying grad f(a,b) = 0
(b) a singular point of f, that is, a point where grad f(a,b) does not exist, or
(c) a boundary point of the domain of f

Theorem 2: If f is a continues function of n variables whose domain is a closed and bounded set in R^n, then the range of f is a bounded set of real numbers, and there are points in its domain where f takes on absolute maximum and minimum values.

(Jammen hadde jeg brukt absolutt min/maks allikevel )

Ihvertfall, hvis du ikke har fått noe intervall, så er konvensjonen at man velger det største intervallet den er definert på. For din funksjon skulle det bli x, y = R.

Siden du ikke har ett lukket intervall, kan man ikke bruke Teorem 2, men det er jo ganske opplagt at dersom det er flere lokale min/maks, så velger man den den minste og største verdien til absolutt min/maks. Om det er innlevering/eksamen er det sikkert ikke dumt å sette opp noen ulikheter og argumentere for valget, men noe mer bevis kan jeg ikke se for meg er nødvendig.

[Charlatan]

Som espen sier, når du har alle ekstremalpunktene, finn den største og minste verdien. Sett inn verdiene for ekstremalpunktene i funksjonen, og de punktene som gir størst og minst verdi er henholdsvis globale maksima og minima.