Ekstrempunkt i lukket og begrenset intervall

[siljejun]

Heisann
Kan noen hjelpe meg med å skjønne en oppgave?
Jeg har fått funksjonen.
f(x,y)=X^2 +y^2+y-1 for S={(x,y): X^2+Y^2 større eller lik 1}

Deretter sier oppgaven at innsetting av X^2+Y^2=1 i uttrykket for f(x,y)
viser at langs randa til S er f beskrevet ved funksjonen:
g(y)=1+y-1=y , hvor y er et element av [-1,1]

Hæ ? , jeg skjønner ikke hva som skjedde? Hvorfor kan en skrive om på denne måten og hvorfor gjør jeg det?

Oppgaven går ut på å finne ekstrempunkt og verdier.

[Dinithion]

Er dette virkelig kommet inn pensum til videregående?

Uansett, du har en funksjon av to variable. Funksjonen er definert for alle x og y slik at x^2 + y^2 >= 1. Dvs at x^2 + y^2 aldri kan bli mindre enn 1. Funksjonen er:

f(x,y) = x^2 + y^2 + y -1

Siden x^2 + y^2 aldri blir mindre enn en, substituerer vi inn for definisjonsmengden, dvs:

f(x,y) = x^2 + y^2 + y - 1 = 1 + y - 1 = y

funksjonsverdiene nå er helt på grensen av det som er tillatt ut i fra definisjonsmengden, så du "balanserer" altså på kanten av verdimengden. Dette er randsonen til funksjonen.

Du gjør dette for å sjekke etter min/maks-punkter til funksjonen. min/maks punkter kan være ekstremalpunkt, singulære punkt og randpunkt. Du finner ekstremalpunkt ved å derivere og finne ut når tangentplanet = 0, singulere punkt leter du etter der hvor funksjonen muligens ikke er definert, og randpunkt sjekker du ved å gjør slik du nettopp gjorde. Prøv å skisser opp en enkel funksjon av to variable definert på ett lukket intervall. Da ser du hvorfor du får en randsone.

Edit:

La meg bare få legge til at når du substituerer inn slik du gjør nå, så får du en ny funksjon. Dette er en funksjon som gir funksjonsvedi langs randen. Dette er en funksjon som du må finne maks/min slik som man vanligvis gjør, altså ved å derivere.

[siljejun]

Hei,hei!:)

Tusen takk dere er veldig flinke, men det er fortsatt noen ting jeg ikke skjønner.

[quote="Dinithion"]

f(x,y) = x^2 + y^2 + y - 1 = 1 + y - 1 = y

Hvis vi får en ny funksjon g(y)=1 + y - 1 = y antar jeg at denne er lik y fordi vi løser den, og 1-1=0, og vi får da y. Står jeg da igjen med g(y)=y som jeg deriverer eller?
Og hvorfor sier oppgaven at y er et element av 1 eller minus 1, for den deriverte blir vel bare 1?

Håper du får en flott dag

[Dinithion]

Du er sikker på at definisjonsmengden til f(x,y) er x^2 + y^2 >= 1 og ikke <= 1? Det endrer ikke noe i den andre posten min, men det virker bare litt mer naturlig.

Ihvertfall så sier de at y er ett element av [-1,1]. Det er definisjonsmengden for den nye funksjonen, så når du sjekker etter topp/bunn-punkt på g(y), så sjekker du bare på intervallet mellom -1 og 1.

Du har rett i at g'(y) = 1, så for denne spesielle funksjonen så er det ingen topp/bunn-punkt langs randen. Men dette må du nesten ta med en klype salt, for jeg ble plutselig litt usikker. Det jeg kom til å tenke på var om man skal sjekke etter maks/min-punkter for endepunktene til g(y)..

[siljejun]

Oppgaven sier at f(x,y) er x^2 + y^2 <= 1, så utgangspunktet er riktig.

Men kanskje det betyr at når en setter inn for definisjonsmengden og deriverer uttrykket så får en ingen stasjonærpunkt inne i den nye funksjonen g(y) fordi den deriverte er lik 1. Og det virker kanskje rimelig siden vi nå har satt inn for randen til S. Og at vi da leter i ytterpunktene for den nye funksjonen.

Jeg skjønner fortsatt ikke hvordan jeg skal vite at y i den nye funksjonen ligger i intervallet
[-1,1] men jeg kan jo håpe at eksamen vil oppgi intervallene.

Jeg forstår uansett mye mer nå enn da jeg sendte spørsmålet, så tusen takk

[Dinithion]

Aha. [tex]\leq[/tex] er mindre enn erlik, og ikke strørre eller lik slik du skrev i første posten. Da gir intervallet mer mening.

For da kan x^2 + y^2 aldri bli større enn 1. Siden den nye funksjonen er en funksjon av bare y, holder vi x konstant = 0. For at g(y) skal holde seg innenfor definisjonsmengden til den originale funksjonen, kan ikke y være utenfor [-1, 1], da dette blir større enn 1