Relasjon mellom pivotsøyler og lineær uavhenigighet

[Betelgeuse]

Jeg satt og gjorde noen oppgaver og kom på nytt over et argument jeg har sett før, men ikke helt fått taket på. La oss si vi har en matrise A med søyler a1, a2, a3, a4 og vi radreduserer denne. Hvis vi så ender opp med at de to første søylene i den radresuserte matrisen er pivot-søyler, så sier argumentet at de to første søylene i den oprinnelige matrisen A er lineært uavhenige. Er det noen som har noen oppklarende ord om hvorfor det er eller må være slik?

[Karl_Erik]

Poenget her er at en lineær avhengighetsrelasjon mellom et sett med vektorer fortsatt holder om du radreduserer matrisen med disse vektorene som søyler. Det vil si at om [tex]c_1 v_1 + \ldots + c_4 v_4 = 0[/tex] og vektorene [tex]v_1, \ldots v_4[/tex] som søyler i en matrise V kan radreduseres til de fire vektorene [tex]w_1 \ldots w_4[/tex] vil vi også ha at [tex]c_1 w_1 + \ldots + c_4 w_4 = 0[/tex] - altså gjelder den samme lineære avhengighetsrelasjonen med de samme konstantene. Grunnen til at det er sånn er noe uformelt at vi ved radredusering hele tiden legger til det samme i hver komponent. Altså har vi at om de to første søylene i en matrise hadde vært lineært avhengige hadde de også vært det når de ble radredusert, og om de blir pivotsøyler kan de jo ikke være det. (Beklager noe kort forklaring.)