Eksamensoppgave

[pjuus]

Beregn [symbol:integral] G * T ds .


Er T ds det samme som [dx,dy,dz] ?

[Thor-André]

Det kommer an på tror jeg... Hvilken oppgave på hvilket eksamenssett er dette?

[pjuus]

Eksamen vår 2004 oppgave 6

[Thor-André]

En orientert kurve C er gitt ved

$$\begin{gathered} \overrightarrow{r}(t)=[cost,(1+sint),(1-cost-sint)] \\ 0\le t\le 2\pi \end{gathered}$$
$\overrightarrow{F}(x,y,z)=[y{e}^x,(x^2+e^x),z^2{e}^z]$

a) Vis at C ligger i et plan, og finn en ligning for dette planet. Hva slags kurve er projeksjonen av C i xy-planet?
b) Bruk Stokes’ teorem til å regne ut

$\underset{C}{\oint }\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{T}ds$

Denne oppgaven?

[pjuus]

Ja, det stemmer !

[Thor-André]

Oki Hvor er det tillfellet du spør etter oppstår i oppgaven da?

[pjuus]

Oppgave b..
[symbol:integral] F * T ds

[Thor-André]

Er det ikke bare å bruke stokes teorem da?

Vi har planet fra oppgave a: (jeg skjønner egentlig ikke hvordan de har regnet ut det, men det får være en annen sak )

$x+y+z=2$

Som vi kan skrive om til:

$z=2-x-y$

Da kan vi utnytte at vi har en $z=f(x,y)$

Altså er:

$\overrightarrow{n}d\sigma =[1,1,1]dxdy$

Regner ut curl F og får at denn er $[0,0,2x]$

Integralet vårt blir da:

${\oint }_C\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{T}ds=\int {\int }_{R}2xdxdy$

Var det dette du lurte på eller?

Ser ikke helt hvor $\overrightarrow{T}ds=[dx,dy,dz]$ kommer inn i bildet?

[pjuus]

Ja, det jeg lurte på.

Men fasiten har skrevet om [symbol:integral] 2(z-y) k * T ds til [symbol:integral] 2(z-y) dz

Skjønte ikke hvordan de gjorde det.

[Thor-André]

Nå har jeg finlest fasiten her, jeg kan ikke se hvor de har skrevet det jeg? Antar vi har samme fasit da? er vel ikke så mange andre tror jeg?

[pjuus]

Oops.. nei, det var oppgave 5... Blir så forvirra av alle oppgavene.

[Thor-André]

Aha

Da var det egentlig dette du lurte på:

${\int }_{C}2(z-y)\cdot \overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{T}ds={\int }_{C}2(z-y)dz$?

Vel, jeg synes de har en litt rar notasjon... Så

${\int }_{C}2(z-y)\cdot \overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{T}ds={\int }_C[0,0,2(z-y)]\cdot \overrightarrow{T}ds={\int }_C[0,0,2(z-y)]d\overrightarrow{r}$

Setter så inn verdier fra tidligere i oppgaven der:
$$\begin{gathered} z=2t \\ y=t \end{gathered}$$

Vi skal også derivere posisjonsvektoren $\overrightarrow{r}(t)$ men vi trenger bare å fokusere på z komponenten siden den er den eneste som gir bidrag, og deriverte av z komponent blir bare 2, da får vi:

${\int }_C[0,0,2(z-y)]d\overrightarrow{r}={\int }_{C}2(2t-t)\cdot 2dt=4{\int }_{C}tdt$

Ble det klarere nå?

[pjuus]

Så T*ds er det samme som dr ?

[Thor-André]

Jepp!

[pjuus]

Tusen Takk