Bevise at e^z er en til en på åpen skive.

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
Betelgeuse
Ramanujan
Ramanujan
Posts: 260
Joined: 16/04-2009 21:41

Skal bevise at den komplekse eksponentialfunksjonen [tex]e^z[/tex] er en til en, eller injektiv, på alle åpne skiver i [tex]\mathb{C}[/tex].

Planen er å vise at [tex]e^{z_1} = e^{z_2} \Leftrightarrow z_1 = z_2[/tex] for en hvilken som helst åpen skive. Men jeg ser ikke hvordan jeg skal føre argumentet.. Tenkte på å konstruere [tex]z_1[/tex] og [tex]z_2[/tex] på polarform m. modulus mindre enn pi, men dette vil jo bare være en åpen skive sentrert i origo og ikke en hvilken som helst åpen skive.
[tex]\small{\text{atm: fys1120, ast1100, mat1120, mat2410 \ . Prev: mat1110, fys-mek1110, mek1100, mat1100, mat-inf1100, inf1100}}[/tex]
Karl_Erik
Guru
Guru
Posts: 1080
Joined: 22/10-2006 23:45

Hint: [tex]e^z=e^w[/tex] gir [tex]e^{z-w}=1[/tex].
Betelgeuse
Ramanujan
Ramanujan
Posts: 260
Joined: 16/04-2009 21:41

Okei. Så hvis jeg lar [tex]z[/tex] og [tex]w[/tex] være to komplekse tall innenfor en åpen skive med radius [tex]\pi[/tex], så har vi at

[tex]e^{z} = e^w \Leftrightarrow e^{z-w} =1 \Leftrightarrow z-w = 2k\pi i[/tex] for [tex]k \in \mathbf{Z}[/tex]. Men siden de to komplekse tallene er innenfor en åpen skive med radius pi, så må differansen mellom dem være mindre enn to pi og dermed må [tex]k=0[/tex], sa [tex]z=w[/tex].
[tex]\small{\text{atm: fys1120, ast1100, mat1120, mat2410 \ . Prev: mat1110, fys-mek1110, mek1100, mat1100, mat-inf1100, inf1100}}[/tex]
Post Reply