Hei.
Jeg får ikke følgende oppgave til å stemme med fasit, og er litt usikker på hva jeg gjør feil:
Gitt vektorfeltet: v(x,y,z) = yi - xj + k
Finn streamlines i vektorfeltet.
OK. Jeg bruker vanlig formel og får:
dx/y = -dy/x = dz
Her skal vi få to streamlines. Den første finner jeg greit nok. Vi har:
dx/y = -dy/x
Som gir:
xdx = -ydy
Integrerer begge sider og får:
(x^2)/2 = -(y^2)/2 + (C/2)
Multipliserer med 2, og får ligningen for sirkel:
(x^2) + (y^2) = C
(Fasiten har her skrevet (x^2) + (y^2) = (a^2))
Når det gjelder den andre streamline-løsningen har jeg satt opp:
-ydy = dz
Integrerer og får:
-(y^2)/2 = z + D
Som gir z = (-y^2)/2 + D
I følge fasiten skal imidlertid andre løsning være:
x = a*sin(z - b).
Jeg skjønner ikke hvordan man finner dette. Setter stor pris på hjelp!
Finne streamlines i vektorfelt
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
La [tex]\vec{x}_s=\langle x_s,y_s,z_s\rangle[/tex] være strømlinjen parametrisert ved [tex]s[/tex].
Tar det fra uttrykket
[tex]x_s^2 + y_s^2 = C[/tex].
Her ser vi at [tex]C[/tex] må være et positivt tall, så da er det vanlig å la tallet være et kvadrat siden alle kvadrater av reelle tall er positive, så man lar [tex]C=a^2[/tex].
Bruker vi at [tex]y_sdz_s=dx_s[/tex] og setter inn fra uttrykket over får vi
[tex]\sqrt{a^2-x_s^2}dz_s=dx_s[/tex].
Bruk så den generelle formelen [tex] \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx=\arcsin(\frac{x}{|a|})+C[/tex], og man er i mål.
Tar det fra uttrykket
[tex]x_s^2 + y_s^2 = C[/tex].
Her ser vi at [tex]C[/tex] må være et positivt tall, så da er det vanlig å la tallet være et kvadrat siden alle kvadrater av reelle tall er positive, så man lar [tex]C=a^2[/tex].
Bruker vi at [tex]y_sdz_s=dx_s[/tex] og setter inn fra uttrykket over får vi
[tex]\sqrt{a^2-x_s^2}dz_s=dx_s[/tex].
Bruk så den generelle formelen [tex] \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx=\arcsin(\frac{x}{|a|})+C[/tex], og man er i mål.