Lagrange, har jeg forstått det?

[MatteNoob]

Gitt funksjonen
[tex]f (x, y) = 2xy[/tex]

Funksjonen f(x,y) har både et maksimumspunkt og et minimspunkt under bibetingelsen [tex]g(x,y) = x^2 + y^2 = 2 [/tex]

Kall maksimumsverdien for M og minimumsverdien for m. Da er [tex]2M + m[/tex] lik?

---

Bruker Lagrangefunksjonen.
[tex]L(x,y,z) = 2xy - z(x^2 + y^2 - 2) = 2xy - zx^2 - zy^2 + 2z[/tex]

Partiellderiverer
1) [tex]L\prime x = 2y - 2xz[/tex]
2) [tex]L\prime y = 2x - 2yz[/tex]
3) [tex]L\prime z = 2 - x^2 - y^2[/tex]

Setter alle lik 0 og løser 1 mhp z.
I) [tex]z = \frac yx[/tex]

setter inn for z fra 1 i 2 og løser mhp x.

II) [tex]2x - 2y(\frac yx) = 0[/tex]

[tex]x^2 = y^2[/tex]

Setter inn for [tex]x^2[/tex] i 3.

III) [tex]2 - y^2 - y^2 = 0[/tex]

[tex]y = \pm 1 [/tex]

Og siden x^2 = y^2, så gjelder også dette for x. Dermed har vi funnet fire potensielle punkter.

A(1,1), B(-1,-1), C(1,-1) og D(-1,1).

Setter vi inn for x og y i forhold til pkt A, så ser vi at z = 1. Dermed blir ikke likning 1 og 2 null for punkt C og D. Betyr dette at disse punktene ikke er maksimums- eller minimumspunkter?

De samme punktene gjør at den partiellderiverte av z blir 0. Holder ikke dette? Må alle de partiellderiverte være 0 for at vi skal ha de korrekte punktene?

Hvis det kun er pkt A og B som er reelle maksimums- og minimumspunkter, så får vi at:

f(1,1) = 2.
f(-1,-1) = 2.

Ergo gir begge punkter samme verdi.

[claudius]

Det blir kansje klarere om du ser litt på denne linken? http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/ ... ltipliers/

[MatteNoob]

Hei, Claudius.

Takk skal du ha, dette så ut til å være i min gate. Da ser vi på dette :]