Grenseverier

[Marteens]

Jeg jobber om dagen med å forstå meg på grenseverier, men jeg sliter med følgende fire oppgaver:

1)

(n/([symbol:rot](n+1))) - (n+1)/ ([symbol:rot]n), for n--> +[symbol:uendelig]

2)

((n^2)/([symbol:rot](n^2)+3n+1)) - n, for n--> +[symbol:uendelig]

3)

((4^x)-2)/(((2^x)+5)((2^x)-6)), for x--> +[symbol:uendelig]

4)

((4^x)-2)/(((2^x)+5)((2^x)-6)), for x--> -[symbol:uendelig]


Jeg har prøvd mange ganger, men har til slutt insett at jeg ikke helt vet hvordan jeg løser disse type oppgaver. Hvis jeg kunne fått noen tips og forklarnger, ville jeg satt stor pris på det.

Takk =)

[Nebuchadnezzar]

[tex] {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{n}{{\sqrt {n + 1} }} - \frac{{n + 1}}{{\sqrt n }} [/tex]

[tex] {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{n}{{\sqrt {n + 1} }} - \left( {\frac{n}{{\sqrt n }} + \frac{1}{{\sqrt n }}} \right) [/tex]

[tex] {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{n}{{\sqrt {n + 1} }} - \sqrt n - \frac{1}{{\sqrt n }} [/tex]

[tex] {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt {\frac{{{n^2}}}{{n + 1}}} - \sqrt n - \frac{1}{{\sqrt n }} [/tex]

[tex] {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt {n + \frac{1}{n}} - \sqrt n - \frac{1}{{\sqrt n }} [/tex]

[tex] Ser{\rm{ vi at n{\aa}r }} {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n} = 0{\rm{ og }} {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\sqrt n }} = 0 [/tex]

[tex] {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt {n + 0} - \sqrt n - 0 [/tex]

[tex] {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt n - \sqrt n - 0 [/tex]

[tex] {\lim }\limits_{n \to \infty } 0 [/tex]

Har ingen faste regner på slike uttrykk. Beste tipset er å lete etter ting som blir null, og å sette ting på fellesbrøkstrek. Trekker ting under rotetgnet, rett og slett å leke seg med utttrykket til ting gir mening.

Trening gjør mester.

[Gustav]

[tex] {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{n}{{\sqrt {n + 1} }} - \frac{{n + 1}}{{\sqrt n }} [/tex]

[tex] {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{n}{{\sqrt {n + 1} }} - \left( {\frac{n}{{\sqrt n }} + \frac{1}{{\sqrt n }}} \right) [/tex]

[tex] {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{n}{{\sqrt {n + 1} }} - \sqrt n - \frac{1}{{\sqrt n }} [/tex]

[tex] {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt {\frac{{{n^2}}}{{n + 1}}} - \sqrt n - \frac{1}{{\sqrt n }} [/tex]

[tex] {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt {n + \frac{1}{n}} - \sqrt n - \frac{1}{{\sqrt n }} [/tex]

[tex] Ser{\rm{ vi at n{\aa}r }} {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n} = 0{\rm{ og }} {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\sqrt n }} = 0 [/tex]

[tex] {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt {n + 0} - \sqrt n - 0 [/tex]

[tex] {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt n - \sqrt n - 0 [/tex]

[tex] {\lim }\limits_{n \to \infty } 0 [/tex]

Har ingen faste regner på slike uttrykk. Beste tipset er å lete etter ting som blir null, og å sette ting på fellesbrøkstrek. Trekker ting under rotetgnet, rett og slett å leke seg med utttrykket til ting gir mening.

Trening gjør mester.

Hva gjorde du fra linje 4 til linje 5?

[Nebuchadnezzar]

Jeg gjorde noe ulovlig ^^

[tex]{\lim }\limits_{n \to \infty } {\rm{ }}\sqrt {\frac{{{n^2}}}{{n + 1}}} - \sqrt n - \frac{1}{{\sqrt n }} [/tex]

[tex]{\lim }\limits_{n \to \infty } {\rm{ }}\sqrt {n + \frac{1}{{n + 1}} - 1} - \sqrt n - \frac{1}{{\sqrt n }} [/tex]

[tex] N{\aa}r{\rm{ }}n \to \infty {\rm{ s{\aa} vil }}\frac{1}{{n + 1}} \to 0{\rm{ og }}\frac{1}{{\sqrt n }} \to 0 [/tex]

[tex]{\lim }\limits_{n \to \infty } {\rm{ }}\sqrt {n + 0 - 1} - \sqrt n - 0 [/tex]

[tex]{\lim }\limits_{n \to \infty } {\rm{ }}\sqrt {n - 1} - \sqrt n [/tex]

[tex] N{\aa}r{\rm{ }}n \to \infty {\rm{ s{\aa} vil }}\sqrt {n - 1} \approx \sqrt n {\rm{ s{\aa} grensen blir}} [/tex]

[tex]{\lim }\limits_{n \to \infty } {\rm{ }}0[/tex]


men da får jeg komme med et spørsmål, hva blir den korrekte måten å løse grensen

[tex]{\lim }\limits_{n \to \infty } {\rm{ }}\sqrt {n - 1} - \sqrt n [/tex]

på? Forklaringen min er jo logisk, men tviler på den holder vann.

[Gustav]

Tja, én måte er å omskrive til

[tex]\frac{(1-\sqrt{\frac{1}{1-\frac{1}{n}}})}{\frac{1}{\sqrt{n-1}}}[/tex] som er et [tex]\frac{0}{0}[/tex] uttrykk.

[Nebuchadnezzar]

[tex]{\lim }\limits_{n \to \infty } {\rm{ }}\sqrt {n - 1} - \sqrt n [/tex]

[tex] {\lim }\limits_{n \to \infty } {\rm{ }}\left( {\sqrt {n - 1} - \sqrt n } \right)\frac{{\left( {\sqrt {n - 1} + \sqrt n } \right)}}{{\left( {\sqrt {n - 1} + \sqrt n } \right)}} [/tex]

[tex] {\lim }\limits_{n \to \infty } {\rm{ }}\frac{{\left( {n - 1} \right) - n}}{{\left( {\sqrt {n - 1} + \sqrt n } \right)}} [/tex]

[tex] {\lim }\limits_{n \to \infty } {\rm{ }}\frac{1}{{\sqrt {n - 1} + \sqrt n }} [/tex]

[tex] {\lim }\limits_{n \to \infty } {\rm{ }}0 [/tex]

[Integralen]

En side grenser:

[tex]lim_{n \rightarrow \: (-1)^{-}}\: \: \frac{n}{\sqrt n+1}-\frac{n+1}{sqrt n}=i \infty [/tex]

[tex]lim_{n \rightarrow \: (-1)^{+}}\: \: \frac{n}{\sqrt n+1}-\frac{n+1}{sqrt n}=- \infty [/tex]

[tex]lim_{n \rightarrow \: (0)^{-}}\: \: \frac{n}{\sqrt n+1}-\frac{n+1}{sqrt n}=i \infty [/tex]

[tex]lim_{n \rightarrow \: (0)^{+}}\: \: \frac{n}{\sqrt n+1}-\frac{n+1}{sqrt n}=- \infty [/tex]