Denne oppgaven har ikke fasit, så jeg bare lurer på om noen kan være så snill å bekrefte/avkrefte at jeg har gjort det rett
.OPPGAVE:
Bruke Stokes' teorem til å finne [symbol:integral] [symbol:integral] curl F * ndS hvor F = (z^2)i -3xyj + (x^3)(y^3)k og overflaten S er delen av z = 5 - (x^2) - (y^2) som ligger over planet z = 1. Anta at S er orientert oppover.
LØSNINGSFORSLAG:
I planet z = 1 er randkurven gitt ved: 1 = 5 - (x^2) - (y^2).
Eller:
(x^2) + (y^2) = 4.
I dette planet vil vi ha normalvektor k
Vi kan derfor bruke Stokes' teorem:
[symbol:integral] [symbol:integral] curl F * ndS =
[symbol:integral] F * dr = [symbol:integral] [symbol:integral] curl F * kdA
Har at
curl F * k = -3y
Vi kan dermed sette dette opp som et dobbelt integral i polarkoordinater:
-3* [symbol:integral]dƟ [symbol:integral] (rsin(Ɵ))*r dr
Hvor første integral går mellom 0 og 2 [symbol:pi] og andre integral går mellom 0 og 2.
Løser i vei og får:
-8 * [symbol:integral] sin(Ɵ) dƟ
Dette integralet blir 0.
Altså har vi:
[symbol:integral] [symbol:integral] curl F * ndS = 0.
Som sagt, dersom noen kan bekrefte/avkrefte om fremgangsmåte og svar er riktig ville jeg satt veldig stor pris på det!
