Riktig bevis?

[chrypton1]

Vis at:

[tex]a^2+b^2+c^2 {\ge} ab+bc+ca[/tex]
for alle positive heltall[tex]a,b,c[/tex]

Mitt bevis:

Vi har at:

[tex](a+b+c)^2{\ge}0[/tex]

[tex]a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc{\ge}0[/tex]

[tex]a^2+b^2+c^2{\ge}-2ab-2ac-2bc[/tex]

[tex]a^2+b^2+c^2{\ge}-2(ab+ac+bc)[/tex]

[tex]\frac{a^2+b^2+c^2}{2}{\ge}-(ab+ac+bc)[/tex]

Siden vi har at:

[tex]2{\g}-1[/tex]

Kan vi gjøre følgende:

[tex]\frac{(a^2+b^2+c^2)*2}{2}{\ge}-(ab+ac+bc)*(-1)[/tex]

[tex]\frac{(a^2+b^2+c^2)*\not{2}}{\not{2}}{\ge}(ab+ac+bc)[/tex]

Endelig har vi:

[tex]a^2+b^2+c^2 {\ge} ab+bc+ca[/tex]

[tex]Q.E.D.[/tex]

Det jeg lurer på er om jeg kan bruke [tex]2{\g}-1[/tex] for å kvitte meg med totallet på venstre side og det negative på høyre side.

Takk.

[Vektormannen]

edit: Hm, glem dette.

[chrypton1]

Jeg beklager mitt dumme spørsmål. Ulikheten snus når man ganger/deler med et negativt tall på en av sidene.

[Vektormannen]

Jeg tror du kommer lettere i havn om du bruker at [tex](a-b-c)^2 \geq 0[/tex].

[Karl_Erik]

Du kan dessverre ikke gjøre den forkortingen, nei, og om du legger merke til at likhet holder i den originale ulikheten når a=b=c, mens Vektormannens foreslåtte ulikhet ikke har dette tror jeg ikke dette kommer til å føre fram heller. Det du dog kan gjøre er å først vise ulikheten [tex]a^2+b^2 \geq 2ab[/tex] og se litt på denne.