Trigometri

[Nebuchadnezzar]

Finn de løsningene til

[tex]4 \cos(x)\,-\,3\sin(x)=3 \qquad \qquad x\in[-\pi,\pi][/tex]

Prøvde meg litt frem og kom frem til at denne kunne skrives om til

[tex]-5\( sin(x-\arccos(3/5)) \)=3[/tex]

Og slik kan jeg finne ca, verdiene til denne. Men hvordan finner jeg de eksakte verdiene?

[Vektormannen]

Benytt denne omskrivingen (som det skal stå om i matteboken din): http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_tr ... mbinations

[Nebuchadnezzar]

Jeg har jo gjort sinus omskrivningen allerede...
Og om jeg gjør den med tangens er det jo ikke noe forskjell...

Kan jeg få litt mer hjelp ?

[Vektormannen]

Sorry, det så jeg ikke! Jeg vet ikke hvordan du kan finne eksakte løsninger, kan hvertfall ikke se noe umiddelbart.

[Nebuchadnezzar]

Jeg fant det ut, i det minste delvis...

Men i mellomtiden kan kanskje du vektormannen se om du klarer å finne den ene eksakte løsningen som er [tex]x=-\frac{\pi}{2}[/tex] ^^

Tok litt tid før jeg fant det ut, og fikk litt hjelp på veien. Men var en artig måte å finne det ut på

Sliter litt mer med å finne den andre løsningen som er

[tex]x=\arctan\(\frac{7}{24}\)[/tex]

Men det får bli i morgen med å finne den løsningen

[Nebuchadnezzar]

Da har jeg løst denne og, og dere som lurer på hvordan, kan bare få lure litt til.

^^

[Vektormannen]

[tex]x = -\frac{\pi}{2}[/tex] var grei nok å finne, men den andre var vrien. Har du et hint?

[Nebuchadnezzar]

Med sinusomforminga klarte jeg ikke og komme frem til den andre løsningen, bare minus en halv pi.

Men så kvadrerte jeg den første likningen og ting ble litt lettere ^^

[Vektormannen]

Hvis man kun bruker sinusutrykket får man jo at [tex]x = 2 \cdot \arctan\left(\frac{4}{3}\right) - \frac{\pi}{2}[/tex]. Er det uttrykket egentlig noe "verre" enn arctan(7/24)? Det er jo like eksakt.

[Nebuchadnezzar]

Sinusløsningen min

[tex] 4\cos x - 3\sin x = 3{\rm{ }} x\in \left[ { - \pi ,\pi } \right] [/tex]

[tex] \sqrt {{4^2} + {3^2}} \left( {\frac{4}{5}\cos x - \frac{3}{5}\sin x} \right) = 3 [/tex]

[tex] - 5\sin \left( {x - \arccos \left( {\frac{3}{5}} \right)} \right) = 3 [/tex]

[tex] x_1 = - {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{3}{5}} \right) + {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{3}{5}} \right) + 2\pi n \, \wedge \, x_2 = \pi + {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{3}{5}} \right) + {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{3}{5}} \right) + 2\pi n [/tex]

[tex] x_1 = - {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{3}{5}} \right) + {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{3}{5}} \right) \, \wedge \, x_2 = \pi + \left( {{{\sin }^{ - 1}}\left( {\frac{3}{5}} \right) + {{\cos }^{ - 1}}\left( {\frac{3}{5}} \right)} \right) - 2\pi [/tex]

[tex] x_1 = \tan^{-1}\left( {\frac{7}{{24}}} \right) \, \wedge \, x_2 = \pi + \left( {\frac{1}{2}\pi } \right) - 2\pi = - \frac{1}{2}\pi [/tex]

[tex] - {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{3}{5}} \right) + {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \arctan \left( {\frac{7}{{24}}} \right){\rm{ }}og{\rm{ }}{\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{3}{5}} \right) + {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{1}{2}\pi [/tex]
[tex]\underline{\underline {L{\o}sningene{\rm{ }}blir{\rm{ }}dermed{\rm{ }}x = ta{n^{ - 1}}\left( {\frac{7}{{24}}} \right) \approx 0,28 \wedge x = - \frac{1}{2}\pi \approx - 1,57}} [/tex]

Hvordan går du fra
[tex]x_1 \,[/tex] til [tex]\,x=2\arctan\({\frac{4}{3}}\)-\frac{\pi}{2} ? [/tex]

[Vektormannen]

Ser ut som jeg løste det på en annen måte.

Begynner først med å omforme linærkombinasjonen til en sinusfunksjon:

[tex]4 \cos x - 3 \sin x = 5\sin(x + \phi)[/tex], der [tex]\phi = \pi - \arctan(\frac{4}{3})[/tex].

[tex]5\sin(x + \phi) = 3, \ x \in [-\pi, \pi] \ \Leftrightarrow \ x + \phi = \arcsin(\frac{3}{5}) \ \vee \ x + \phi = \pi - \arcsin(\frac{3}{5})[/tex]

Men her har vi jo at [tex]\arcsin(\frac{3}{5}) = \frac{\pi}{2} - (\pi - \phi) = -\frac{\pi}{2} + \phi[/tex] (tegn en figur om du er i tvil.), så vi har altså at

[tex]x + \phi = \phi - \frac{\pi}{2} \ \vee \ x + \phi = \pi - (\phi - \frac{\pi}{2}) = \frac{3\pi}{2} - \phi[/tex]

Fra den første ligningen får vi at [tex]x_1 = \phi - \frac{\pi}{2} - \phi = -\frac{\pi}{2}[/tex].

I den andre ligningen får vi

[tex]x_2 = \frac{3\pi}{2} - 2\phi = \frac{3\pi}{2} - 2 \cdot (\pi - \arctan(\frac{4}{3})) = -\frac{\pi}{2} + 2 \cdot \arctan(\frac{4}{3})[/tex].

edit: fikset en skrivefeil

[Nebuchadnezzar]

Og her er den "kjedelige" løsninga
Tusen takk for hjelpen, har innføring og dette hjelper mye. Problemet blir bare hvilken løsning jeg skal velge. Om jeg vil "brife" med litt høyere forståelse eller kjøre sikkert. ^^


[tex] 4\cos x - 3\sin x = 3{\rm{ }} [/tex]

[tex] {\left( {4\cos x - 3\sin x} \right)^2} = {3^2}{\rm{ }} [/tex]

[tex] 16{\cos ^2}\left( x \right) - 24\cos \left( x \right)\sin \left( x \right) + 9{\sin ^2}\left( x \right) = 9\left( {{{\cos }^2}\left( x \right) + {{\sin }^2}\left( x \right)} \right) [/tex]

[tex] 7{\cos ^2}\left( x \right) - 24\cos \left( x \right)\sin \left( x \right) = 0 [/tex]

[tex] \cos \left( x \right)\left( {7\cos \left( x \right) - 24\sin \left( x \right)} \right) = 0 [/tex]

[tex] 7\cos \left( x \right) - 24\sin \left( x \right) = 0 \Rightarrow 7 - 24\tan \left( x \right) = 0 \Rightarrow x = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{7}{{24}}} \right) [/tex]

[tex] \cos \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pi n - \frac{\pi }{2} \Rightarrow x = - \frac{\pi }{2} [/tex]

[tex] \underline{\underline {4\cos x - 3\sin x = 3{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}x = - \frac{\pi }{2} \approx - 1.57{\rm{ }}eller{\rm{ }}x = {{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{7}{{24}}} \right) \approx 0.28}} [/tex]

Og en liten bonus ^^ Fant denne omformingen veldig interessant


[tex] \sin \left( t \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - t} \right){\rm{ }} [/tex]

[tex] \arccos \left( {\sin \left( t \right)} \right) = \frac{\pi }{2} - t [/tex]

[tex] x = \sin \left( t \right) \Rightarrow t = \arcsin \left( x \right) [/tex]

[tex] \arccos \left( x \right) = \frac{\pi }{2} - \arcsin \left( x \right) [/tex]

[tex] \arccos \left( x \right) + \arcsin \left( x \right) = \frac{\pi }{2} [/tex]

Litt gøy og utlede siden den ikke står i formelsamlingen vår. Kanskje jeg burde skaffe meg rottmann :p

[Vektormannen]

Hehe, ingen problem. Du viser jo klart en stor forståelse for dette, så det er jo bare å kjøre på og "brife" litt. Eventuelt kan du jo levere inn begge metoder og se hva læreren sier.

Når det gjelder den siste saken der, så sier jo den ligningen der egentlig "bare" at vinkelsummen i en trekant er 90 grader. Hvis x er forholdet mellom en av katetene og hypotenusen så vil arcsin(x) være den ene ikke-rette vinkelen og arccos(x) være den andre.