R2 topp og bunnpunkt

[Sarah]

Sliter med å finne nullpunktene til denne funksjonen som har $xE[0,\frac{2pi}{3}]$;

$f(x)=6sinx-8si{n}^{3}x$

Har funnet ut at den deriverte er;
$f(x)=6cosx-24si{n}^{2}x\ast cosx$

noen som kan hjelpe?

EDIT: Topp og bunnpunktene*

[Vektormannen]

Hvorfor tenker du på den deriverte når du skal finne nullpunkter? Et nullpunkt er et punkt på funksjonen der funksjonsverdien er 0. Den deriverte gir deg stigningen til funksjonen, men den kan jo være hva som helst i et nullpunkt. Det du må gjøre her er å sette f(x) lik 0. Ser du hva du kan gjøre videre da?

[Sarah]

Beklager, men jeg skrev feil. Jeg sliter med å finne topp og bunnpunktene!

[Janhaa]

Beklager, men jeg skrev feil. Jeg sliter med å finne topp og bunnpunktene!

start sånn:

$6\cos (x)\ast (1-4{\sin }^2(x))=0$

[Sarah]

Beklager, men jeg skrev feil. Jeg sliter med å finne topp og bunnpunktene!

start sånn:

$6\cos (x)\ast (1-4{\sin }^2(x))=0$

Det har jeg gjort, og jeg har funnet 2 av dem, som er pi/2 og pi/6. Men det er 2 løsninger til, som jeg ikke klarer å finne.

Riktig svar; pi/2, pi/6, 0 og 2pi/3

[Janhaa]

Beklager, men jeg skrev feil. Jeg sliter med å finne topp og bunnpunktene!

start sånn:
$6\cos (x)\ast (1-4{\sin }^2(x))=0$

Det har jeg gjort, og jeg har funnet 2 av dem, som er pi/2 og pi/6. Men det er 2 løsninger til, som jeg ikke klarer å finne.
Riktig svar; pi/2, pi/6, 0 og 2pi/3

jeg får samme som deg!
punktene: 0 og (2[symbol:pi])/3 er jo funksjonens nullpunkter...

[Sarah]

start sånn:
$6\cos (x)\ast (1-4{\sin }^2(x))=0$

Det har jeg gjort, og jeg har funnet 2 av dem, som er pi/2 og pi/6. Men det er 2 løsninger til, som jeg ikke klarer å finne.
Riktig svar; pi/2, pi/6, 0 og 2pi/3

jeg får samme som deg!
punktene: 0 og (2[symbol:pi])/3 er jo funksjonens nullpunkter...

Ja, det har jeg funnet på forrige oppgave. Men læreren min sa at et punkt kan både være en toppunkt og et nullpunkt. Og det kan man se når man tegner grafen. Men jeg klarer fortsatt ikke å finne de topp og bunnpunktene ved regning.

[Thales]

Nullpunkter:

$$\begin{gathered} f(x)=0\iff 6sinx-8si{n}^{3}x=0 \\ \iff sinx(6-8sin{x}^2)=0 \\ \iff sinx=0\vee 6-8sin{x}^2=0 \\ \iff sinx=sin0\vee \pm \frac{\sqrt{3}}{2}=sinx \\ \iff sinx=sin0\vee \pm sin\frac{\pi }{3}=sinx \\ \iff sinx=sin0\vee sin\frac{\pi }{3}=sinx\vee sin(-\frac{\pi }{3})=sinx \\ \iff x=0\vee x=\pi \vee x=\frac{\pi }{3}\vee x=\frac{2\pi }{3}\vee x=-\frac{\pi }{3}\vee x=\frac{4\pi }{3} \\ \Rightarrow x=\frac{k\pi }{3}\mathrm{\forall }k\in \mathbb{Z} \end{gathered}$$

I intervallet $[0;\frac{2\pi }{3}]$ Har bare x tre mulige verdier for nullpunkt, faktisk $\{0;\frac{\pi }{3};\frac{2\pi }{3}\}$.

[Sarah]

Nullpunkter:

$$\begin{gathered} f(x)=0\iff 6sinx-8si{n}^{3}x=0 \\ \iff sinx(6-8sin{x}^2)=0 \\ \iff sinx=0\vee 6-8sin{x}^2=0 \\ \iff sinx=sin0\vee \pm \frac{\sqrt{3}}{2}=sinx \\ \iff sinx=sin0\vee \pm sin\frac{\pi }{3}=sinx \\ \iff sinx=sin0\vee sin\frac{\pi }{3}=sinx\vee sin(-\frac{\pi }{3})=sinx \\ \iff x=0\vee x=\pi \vee x=\frac{\pi }{3}\vee x=\frac{2\pi }{3}\vee x=-\frac{\pi }{3}\vee x=\frac{4\pi }{3} \\ \Rightarrow x=\frac{k\pi }{3}\mathrm{\forall }k\in \mathbb{Z} \end{gathered}$$

I intervallet $[0;\frac{2\pi }{3}]$ Har bare x tre mulige verdier for nullpunkt, faktisk $\{0;\frac{\pi }{3};\frac{2\pi }{3}\}$.

Alle de tre nullpunktene har jeg funnet, men jeg klarer ikke å finne alle topp og bunnpunktene.

[Thales]

Topp og bunnpunkter

Får å finne topp og bunnpunkter må vi vite når f'x=0.

$$\begin{gathered} f^{\prime }(x)=0\iff 6cosx-24cosxsin{x}^2=0 \\ \iff 6cosx(1-4sin{x}^2)=0 \\ \iff cosx=0\vee 1-4sin{x}^2=0 \\ \iff cosx=cos\frac{\pi }{2}\vee \pm \frac{1}{2}=sinx \\ \iff cosx=cos\frac{\pi }{2}\vee \pm sin\frac{\pi }{6}=sinx \\ \iff cosx=cos\frac{\pi }{2}\vee sin\frac{\pi }{6}=sinx\vee sin(-\frac{\pi }{6})=sinx \\ \iff x=\frac{\pi }{2}\vee x=-\frac{\pi }{2}\vee x=\frac{\pi }{6}\vee x=\frac{5\pi }{6}\vee x=-\frac{\pi }{6}\vee x=\frac{7\pi }{6} \\ \Rightarrow x=\frac{(2k+1)\pi }{6}\mathrm{\forall }k\in \mathbb{Z} \end{gathered}$$

I intervallet $[0;\frac{2\pi }{3}]$ Har kan bare k være 1 og 2 $\Rightarrow x\in \{\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2}\}$.
Dette er topp og bunnpunktene i det gitte intervallet

[Sarah]

Topp og bunnpunkter

Får å finne topp og bunnpunkter må vi vite når f'x=0.

$$\begin{gathered} f^{\prime }(x)=0\iff 6cosx-24cosxsin{x}^2=0 \\ \iff 6cosx(1-4sin{x}^2)=0 \\ \iff cosx=0\vee 1-4sin{x}^2=0 \\ \iff cosx=cos\frac{\pi }{2}\vee \pm \frac{1}{2}=sinx \\ \iff cosx=cos\frac{\pi }{2}\vee \pm sin\frac{\pi }{6}=sinx \\ \iff cosx=cos\frac{\pi }{2}\vee sin\frac{\pi }{6}=sinx\vee sin(-\frac{\pi }{6})=sinx \\ \iff x=\frac{\pi }{2}\vee x=-\frac{\pi }{2}\vee x=\frac{\pi }{6}\vee x=\frac{5\pi }{6}\vee x=-\frac{\pi }{6}\vee x=\frac{7\pi }{6} \\ \Rightarrow x=\frac{(2k+1)\pi }{6}\mathrm{\forall }k\in \mathbb{Z} \end{gathered}$$

I intervallet $[0;\frac{2\pi }{3}]$ Har kan bare k være 1 og 2 $\Rightarrow x\in \{\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2}\}$.
Dette er topp og bunnpunktene i det gitte intervallet

Disse punktene har jeg også funnet, men fasiten sier at det er 2 punkter til, som er 0 og 2pi/3.

[Thales]

Disse punktene har jeg også funnet, men fasiten sier at det er 2 punkter til, som er 0 og 2pi/3.

Ah, nå forsåt jeg. 0 og 2[symbol:pi] /3 er ikke toppunkt eller bunnpunkt fordi f'(0) og f'(2[symbol:pi] /3) [symbol:ikke_lik] 0. Dermed så er ellers fasiten feil, ellers så har du oversett en del av oppgaven...

EDIT:

Sjekk om oppgaven spørr om topp og bunnpunkt til f'(x). For da får du nemlig 0 og 2 [symbol:pi] /3

[Håkon K]

Du har regnet helt riktig, og funnet de globale topp-, og bunnpunkter når $x\in [0,\frac{2\pi }{3}]$. Fasiten har derimot også tatt med endepunktene da definisjonsmengden for $f$ er et lukket intervall.

[Sarah]

Oppgaven sier: finn toppunktene og bunnpunktene til f ved regning.

Jeg skjønner at de kan være topp og bunnpunkter når man ser på grafen. Men hvordan skal jeg kunne finne disse ved regning?