Grenseverdi av komplekst uttrykk

[krje1980]

Oppgave:

Bruk epsilon-delta til å bevise at:

lim ((z^2) + c) = ((z[sub]0[/sub])^2) + c

Når grenseverdien går mot z[sub]0[/sub] og c er en kompleks konstant.


OK. Gitt at ϵ > 0. Da har vi at:

|(z^2) + c - ((z[sub]0[/sub]) + c)| < ϵ

Eller:

|(z^2) - ((z[sub]0[/sub])^2)| < ϵ

Såfremt:

0 < |z - z[sub]0[/sub]| < delta

Jeg er imidlertid litt usikker på hvordan jeg skal gå videre herfra. Dersom jeg hadde jobbet med reelle verdier, ville jeg ha valgt:

|(z + z[sub]0[/sub])(z - z[sub]0[/sub])| < ϵ


Deretter ville jeg ha valgt delta < 1 og løst som følger:

-1 < z - z[sub]0[/sub] < 1

-1 + 2z[sub]0[/sub] < z + z[sub]0[/sub] < 1 + 2z[sub]0[/sub]


Dette vil imidlertid gi løsningen delta = min {1, ϵ/(1 +2z[sub]0[/sub])}

Men er dette en gyldig måte å løse oppgaven på? Skulle jo helst blitt kvitt z[sub]0[/sub] i det endelige svaret for delta.

Setter veldig stor pris på hjelp og innspill!

[FredrikM]

Hint: Skriv [tex]z=a+ib[/tex] og [tex]z_0=a_0+ib_0[/tex] og legg merke til at [tex]z \to z_0[/tex] hvis og bare hvis [tex]a \to a_0[/tex] og [tex]a_0 \to b_0[/tex] (dette kan du vise ved litt [tex]\epsilon[/tex]-triksing).

Dermed
[tex]|z^2-z_0^2|=|(a+ib)^2-(a_0+ib_0)^2|=|(a^2-a_0^2)+2(ab-a_0b_0)+(b_0^2-a_0^2)|[/tex]

Resultatet følger nå fra det reelle tilfellet.

[Gustav]

La [tex]f(z)=z^2+c[/tex].

Dersom [tex]z_0=0[/tex] lar vi [tex]\delta=\sqrt{\epsilon}[/tex]. Da impliserer [tex]|z|<\delta[/tex] at [tex]|z^2|<\delta^2=\epsilon[/tex].

For tilfellet [tex]z_0\neq 0[/tex] lar vi [tex]\delta=\min(|z_0|,\frac{\epsilon}{3|z_0|})[/tex].

Da ser vi at [tex]|z-z_0|<\delta[/tex] impliserer at [tex]|f(z)-f(z_0)|=|z-z_0||z+z_0|<\epsilon[/tex].

Vi har nemlig at

[tex]|z|-|z_0|\leq|z-z_0|<\delta[/tex] (ved omvendt trekantulikhet) så

[tex]|z+z_0|\leq |z|+|z_0|< \delta+2|z_0|\leq 3|z_0|[/tex].

[krje1980]

Tusen takk til dere begge .

Plutarco - har du ikke egentlig gjort omtrent det samme som jeg, bare med den forskjellen at du setter delta < z[sub]0[/sub] der hvor jeg har brukt delta < 1? Dersom jeg hadde brukt delta < z[sub]0[/sub] ville jo jeg fått akkurat samme svar som deg.

[Gustav]

Tusen takk til dere begge .

Plutarco - har du ikke egentlig gjort omtrent det samme som jeg, bare med den forskjellen at du setter delta < z[sub]0[/sub] der hvor jeg har brukt delta < 1? Dersom jeg hadde brukt delta < z[sub]0[/sub] ville jo jeg fått akkurat samme svar som deg.

Mer eller mindre. Men det går ikke an å si at et komplekst tall er større enn et annet. Du må bruke absoluttverdier..

[krje1980]

Tusen takk til dere begge .

Plutarco - har du ikke egentlig gjort omtrent det samme som jeg, bare med den forskjellen at du setter delta < z[sub]0[/sub] der hvor jeg har brukt delta < 1? Dersom jeg hadde brukt delta < z[sub]0[/sub] ville jo jeg fått akkurat samme svar som deg.

Mer eller mindre. Men det går ikke an å si at et komplekst tall er større enn et annet. Du må bruke absoluttverdier..

OK. Da skal jeg passe på å bruke trekantulikheten i lignende oppgaver i fremtiden slik som du har gjort. Tusen takk skal du ha!