Hei.
[tex]f(x)= e^{|x|+1}[/tex]
Oppgaven er aa skrive dette i form av Taylors polinom i annen grad (n=2) med utganspunkt i [tex]x_0 = -1[/tex] og med "resten til Langrange" (hva heter det paa norsk?)
Polinomiet til Tayler klarer jeg greit, men jeg vet ikke helt hvordan jeg finner resten til Lagrange. Noen tips?
Lagrange
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Altså jeg vet hvordan jeg finner polinomiet til Taylor:
siden [tex] x_0<0, [/tex]
skriver jeg om uttrykket
[tex]f(x)= e^{-x+1} [/tex]
som gjelder for samtlige x<0. Derav følger
[tex]f^\prime(x)= -e^{-x+1} [/tex]
[tex]f^{\prime\prime}(x)= e^{-x+1} [/tex]
[tex]f^{\prime\prime\prime}(x)= -e^{-x+1} [/tex]
og altså
[tex]f(-1)= e^2 [/tex]
[tex]f^{\prime}(-1)= -e^2 [/tex]
[tex]f^{\prime\prime}(-1)= e^2 [/tex]
[tex]f^{\prime\prime\prime}(-1)= -e^2 [/tex]
Polinomiet til Taylor i annen grad er altså
[tex] T(x) = e^2 - (x+1)e^2 + \frac{(x+1)^2 e^2}{2} [/tex]
Så skal resten til Lagrange være
[tex] \frac{f^{\prime\prime\prime}(y)}{3!}(x+1)^3[/tex]
der y er en verdi mellom x og -1. Så det jeg egentlig lurer på; hvordan finner jeg y?
siden [tex] x_0<0, [/tex]
skriver jeg om uttrykket
[tex]f(x)= e^{-x+1} [/tex]
som gjelder for samtlige x<0. Derav følger
[tex]f^\prime(x)= -e^{-x+1} [/tex]
[tex]f^{\prime\prime}(x)= e^{-x+1} [/tex]
[tex]f^{\prime\prime\prime}(x)= -e^{-x+1} [/tex]
og altså
[tex]f(-1)= e^2 [/tex]
[tex]f^{\prime}(-1)= -e^2 [/tex]
[tex]f^{\prime\prime}(-1)= e^2 [/tex]
[tex]f^{\prime\prime\prime}(-1)= -e^2 [/tex]
Polinomiet til Taylor i annen grad er altså
[tex] T(x) = e^2 - (x+1)e^2 + \frac{(x+1)^2 e^2}{2} [/tex]
Så skal resten til Lagrange være
[tex] \frac{f^{\prime\prime\prime}(y)}{3!}(x+1)^3[/tex]
der y er en verdi mellom x og -1. Så det jeg egentlig lurer på; hvordan finner jeg y?