Spørsmål om contour integraler (kompleks analyse)

[krje1980]

Hei.

Jeg har bare et lite spørsmål angående contour integraler.

I boken har jeg hittil blitt presentert for to forskjellige måter å løse slike integraler på. Den ene er å bruke en parametrisering. F.eks:

La C være kurven:

z = 3e^(iθ) (0 < θ < [symbol:pi])

fra punktet z = 3 til punktet z = -3.

Integrer f(z) = z^(1/2)


Gjennom parametrisering benytter man at

I = [symbol:integral] f[z(θ)]z'(θ)dθ

Dette gir så svaret.


En annen måte å løse overnevnte oppgave på er å direkte ta den antideriverte til [symbol:integral] (z^(1/2))dz

Da må vi imilderitd passe på branch cuts. Det gitte integralet vil f.eks. ikke være gyldig dersom vi befinner oss i branchen 0 < arg z < 2 [symbol:pi] (ettersom funksjonen da har en singularitet ved z = 3). Ved å definere en ny branch:

- [symbol:pi] /2 < arg z < 3 [symbol:pi] /2

kan vi imidlertid løse i vei direkte. Begge fremgangsmåtene gir samme svar.


Jeg behersker fint begge disse metodene, men synes den første fremgangsmåten er klart lettere enn den siste. Ikke minst fordi vi hele tiden må passe på branch cuts i sistnevnte metode. I tillegg blir den antiderverte ofte mer omfattende med andre metode.

Det jeg imidlertid lurer på er:

Er det slik at man alltid kan velge hvilken av disse metodene man vil bruke? Boken presenterer disse metodene i to forskjellige seksjoner, hvor det selvsagt står spesifisert i hver seksjon at man kun skal bruke den metoden som er gjeldende for den aktuelle seksjonen til å løse oppgavene som følger med. Men er det slik at alle oppgaver som kan løses med den ene fremgangsmåten også kan løses med den andre? Eller finnes det funksjoner hvor kun en av metodene vil funke? Jeg er nemlig litt redd for å støte på f.eks. eksamensoppgaver hvor jeg skal løse et integral, og det ikke står spesifisert konkret hvilken fremgangsmåte av disse to som skal brukes . Står jeg da fritt til å velge? Jeg har prøvd å løse noen oppgaver med begge fremgangsmåter, og alle gir samme svar hittil

Merk: Dette er de eneste integrasjonsmetodene jeg hittil har lært. Jeg vet at etter hvert vil jeg lære andre ting som f.eks. Cauchy-Goursat, residuer, etc. Mitt spørsmål gjelder derfor kun de to fremgangsmåtene som jeg har beskrevet over.

[Gustav]

For å kunne bruke metode 2 må funksjonen du integrerer være analytisk på en åpen enkeltsammenhengende mengde som inneholder kurven du skal integrere langs. Sålenge det holder skulle det være greit.

Dersom kurven du skal integrere langs går gjennom en singularitet vil du få et uekte integral som man pleier å erstatte med den såkalte Cauchy principal value (dvs. at man integrerer rundt singulariteten i en infinitesimal halvsirkel). I slike tilfeller vil sikkert ikke(?) denne metode nr. 2(med antiderivert) fungere.

Når det er sagt er vel noe av det fine med kompleks integrasjon at man faktisk slipper å utføre vanskelige integraler når man bruker residyregning kombinert med ML-ulikheter.

PS: branch=gren

EDIT: det skal selvsagt være en enkeltsammenhengende mengde

[krje1980]

Tusen takk skal du ha! Det kan være at det var litt tidlig for meg å spørre om dette da - det virker jo som at dette vil bli behandlet senere i pensum .

Kan jeg bare spørre om en liten ting til som jeg lurer litt på? I den seksjonen jeg nettopp gikk gjennom virker det, ved annen gangs gjennomlesning, som at man ikke alltid behøver å ta hensyn til grener. Dette forvirrer meg litt ettersom jeg nå er litt usikker på når man må gjøre det og når man ikke trenger å gjøre det.

F.eks. har boken følgende eksempel:

The function f(z) = 1/(z^2), which is continuous everywhere except at the origin, has an antiderivative F(z) = -1/z in the domain |z| > 0, consisting of the entire plane with the origin deleted. Consequently,

[symbol:integral] (1/(z^2))dz = 0

when C is the positively oriented circle:

z = 2e^(iθ)

(- [symbol:pi] < θ < 2 [symbol:pi] )


Senere vises et annet eksempel:

Let us use an antiderivative to evaluate the integral

[symbol:integral] (z^(1/2))dz

where the integrand is the branch

f(z) = z^(1/2) = exp((1/2)log(z)) = r^(1/2)*e^(iθ/2)

(r > 0, 0 < θ < 2 [symbol:pi] )

of the square root function and where C[sub]1[/sub] is any contour from z = -3 to z = 3 that, except for its end points, lies above the x-axis.

Videre forklares det så at grenen til z^(1/2) ikke er definert ved θ = 0 (hvor z = 3), og at vi derfor må etablere en annen gren før vi løser. Denne fremgangsmåten forstår jeg godt.

Mitt spørsmål er imidlertid - hvorfor er det slik at vi i første eksempel ikke trenger å ta henysn til gren, mens vi må det i det andre eksempelet? Er det kun fordi det i eksempel to spesifiseres at vi skal ta utgangspunktet i en bestemt gren? Mens i første eksempel, siden det ikke nevnes noen gren, står vi fritt til å bare løse i vei?

Setter veldig, veldig stor pris på om du kan forklare dette også!

[Gustav]

Vesensforskjellen mellom de to integrandene er vel at det første, altså funksjonen [tex]f(z)=\frac{1}{z^2}[/tex], er kontinuerlig på domenet |z|>0, i motsetning til integranden [tex]g(z)=z^{\frac{1}{2}}[/tex] som krever et grenkutt fordi den ikke kan gjøres kontinuerlig på hele C. Grunnen er at når vi snurrer 2pi grader rundt origo vil funksjonen g(z) ta nye verdier; den er en multifunksjon, i motsetning til f(z) som ikke er det.

Et spørsmål: Mener du i det første integralet at vinkelen skal gå fra -pi til 2pi eller fra -pi til pi?

f(z) har i tillegg en singularitet i origo, så du kan neppe bruke antidervert for å beregne konturintegralet (siden det ikke fins noe enkeltsammenhengende domene som inneholder den lukkede kurven man skal integrere langs der integranden er analytisk). Her må man vel enten bruke parametrisering eller finne residyer for singulariteten (som for øvrig er 0).

[krje1980]

Tusen takk! Jeg tror jeg forstår det ganske bra nå! Men i følge boken skal den første funksjonen som sagt ha en antiderivert F(z) = -1/z så fremt |z| > 0. Regner med dette er nettopp fordi den ikke inkluderer singulariteten. Dersom vi skulle regnet ut et lukket contour integral rundt singulariteten ville vi nok ha måttet bruke parametrisering ja.

Det første integralet skulle forøvrig vært fra - [symbol:pi] til [symbol:pi] .