Hei.
Jeg er litt usikker på hvordan jeg skal gå i gang med følgende oppgave:
Let [tex]f[/tex] denote a function that is continuous on a simple closed contour C. Prove that the function
[tex]g(z)=\frac{1}{2(\pi)i}[/tex][tex]\oint \mathbf \frac{f(s)ds}{s-z}[/tex]
is analytic at each point [tex]z[/tex] interior to C.
OK, her er jeg litt usikker hvordan jeg egentlig skal gå i gang. For det første - er virkelig denne funksjonen analytisk for alle verdier for z? Hva om z = s? Da blir jo nevner 0 i uttrykket og vi har en singularitet. Ergo kan ikke funksjonen være analytisk for alle z (og man må i såfall bruke Cauchys integral teorem til å løse integralet). Og dersom det ikke er noen singulariteter innenfor C, så vil vi jo her kun ha et eksempel på Cauchy-Goursat teoremet. Stemmer ikke det? Da vil i så fall [tex]g(z)=0[/tex].
Videre - for å bevise at uttrykket er analytisk, skal jeg da løse det gjennom bruk av Cauchy-Riemann? Det blir i så fall ganske slitsomt etterom u og v verdiene da vil inneholde integraler.
Setter veldig stor pris på innspill! Oppgaven har nemlig ikke fasit.
Cauchy integral
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
f er kontinuerlig og [tex]\frac{1}{s-z}[/tex] er kontinuerlig og definert på konturen C (da [tex]s\neq z[/tex]), altså er produktet [tex]\frac{f(s)}{s-z}[/tex] kontinuerlig på C, og integralet eksisterer.krje1980 wrote: Let [tex]f[/tex] denote a function that is continuous on a simple closed contour C. Prove that the function
[tex]g(z)=\frac{1}{2(\pi)i}[/tex][tex]\oint \mathbf \frac{f(s)ds}{s-z}[/tex]
is analytic at each point [tex]z[/tex] interior to C.
Videre er g(z) komplekst deriverbar i alle punkter z i det indre av konturen C siden
[tex]\frac{dg}{dz}(z)=\frac{d}{dz}\oint_C \frac{f(s)}{s-z}\,ds=\oint_C f(s)\frac{d}{dz}\frac{1}{s-z}\,ds=\oint_C f(s)\frac{1}{(s-z)^2}\,ds[/tex] eksisterer (fordi integranden igjen er kontinuerlig på konturen).
Altså er g(z) analytisk i det indre av C.
Merk at s aldri er lik z i det indre, og heller ikke på C, så funksjonen g(z) har ingen singulariteter i det indre.
Hei.
Tusen takk for svar! Jeg er helt med på omtrent alt det du skriver, men sliter litt med å forstå den aller siste konklusjonen din (hvor du skriver at g(z) er komplekst deriverbar i alle punkter z i det indre av konturen C siden den deriverte av g(z) er kontinuerlig på konturen). Hvorfor kan du ut fra kontinuitet på konturen avgjøre kontinuitet innenfor konturen? Jeg bare spør for de fleste oppgavene i denne seksjonen har gått ut på å finne integralet innenfor en kontur hvor det finnes en singularitet.
F.eks.:
Finn integralet til [tex]\frac{1}{z-i}[/tex] innenfor området avgrenset av linjene [tex]x=-2[/tex], [tex]x=2[/tex], [tex]y=-2[/tex] og [tex]y=2[/tex]
Her ser vi jo at en singularitet er gitt ved z = i, som jo er et punkt innenfor det definerte området. Likevel kan vi enkelt løse oppgaven gjennom å sette f(z) = 1 bruke Cauchys integral teorem (som jeg ikke har noen problemer med å anvende).
Så - hvorfor kan vi altså i ditt tilfelle automatisk konkludere at s aldri er lik z?
Tusen takk for svar! Jeg er helt med på omtrent alt det du skriver, men sliter litt med å forstå den aller siste konklusjonen din (hvor du skriver at g(z) er komplekst deriverbar i alle punkter z i det indre av konturen C siden den deriverte av g(z) er kontinuerlig på konturen). Hvorfor kan du ut fra kontinuitet på konturen avgjøre kontinuitet innenfor konturen? Jeg bare spør for de fleste oppgavene i denne seksjonen har gått ut på å finne integralet innenfor en kontur hvor det finnes en singularitet.
F.eks.:
Finn integralet til [tex]\frac{1}{z-i}[/tex] innenfor området avgrenset av linjene [tex]x=-2[/tex], [tex]x=2[/tex], [tex]y=-2[/tex] og [tex]y=2[/tex]
Her ser vi jo at en singularitet er gitt ved z = i, som jo er et punkt innenfor det definerte området. Likevel kan vi enkelt løse oppgaven gjennom å sette f(z) = 1 bruke Cauchys integral teorem (som jeg ikke har noen problemer med å anvende).
Så - hvorfor kan vi altså i ditt tilfelle automatisk konkludere at s aldri er lik z?
Hei,krje1980 wrote:Hei.
Tusen takk for svar! Jeg er helt med på omtrent alt det du skriver, men sliter litt med å forstå den aller siste konklusjonen din (hvor du skriver at g(z) er komplekst deriverbar i alle punkter z i det indre av konturen C siden den deriverte av g(z) er kontinuerlig på konturen). Hvorfor kan du ut fra kontinuitet på konturen avgjøre kontinuitet innenfor konturen? Jeg bare spør for de fleste oppgavene i denne seksjonen har gått ut på å finne integralet innenfor en kontur hvor det finnes en singularitet.
F.eks.:
Finn integralet til [tex]\frac{1}{z-i}[/tex] innenfor området avgrenset av linjene [tex]x=-2[/tex], [tex]x=2[/tex], [tex]y=-2[/tex] og [tex]y=2[/tex]
Her ser vi jo at en singularitet er gitt ved z = i, som jo er et punkt innenfor det definerte området. Likevel kan vi enkelt løse oppgaven gjennom å sette f(z) = 1 bruke Cauchys integral teorem (som jeg ikke har noen problemer med å anvende).
Så - hvorfor kan vi altså i ditt tilfelle automatisk konkludere at s aldri er lik z?
1. Du kan ikke bruke Cauchys integralformel her fordi vi ikke vet om f(s) er holomorf innenfor konturen C.
"du skriver at g(z) er komplekst deriverbar i alle punkter z i det indre av konturen C siden den deriverte av g(z) er kontinuerlig på konturen"
2. Nei, det jeg mente å si var at den deriverte av g(z) eksisterer for alle punkter innenfor konturen C fordi integranden (ikke integralet, men funksjonen inni integralet) er kontinuerlig langs konturen, derfor vil integralet eksistere og følgelig vil den deriverte eksistere siden vi kan la derivasjonsoperatoren og integralet bytte plass.
Husk at det ikke er noe i veien for å integrere rundt en singularitet. Det eneste vi trenger å vise er at integralet eksisterer, og det eneste kravet da er at funksjonen man integrerer er kontinuerlig og at kurven du integrerer langs er av endelig lengde (rectifiable curve).
. Tusen takk! Virker logisk nå