Finne stasjonærpunkter

[SNURRE]

Hei. Jeg har oppgave der jeg skal finne stasjonærpunktene til en funksjon.

[tex]f(x,y) = -ye^y(2x^2-0.5x)[/tex]

Jeg har funnet de partielle derivert av 1 .orden

(1) [tex]f`x(x,y) = -ye^y(4x-0.5)[/tex]
(2) [tex]f`y(x,y) = -e^y(1+y) (2x^2 -0.5x)[/tex]

Men etter dette står jeg fast, hvordan skal jeg gjøre neste steg?

[Vektormannen]

Hva vet du om de partiellderiverte i et stasjonært punkt?

[SNURRE]

Hva vet du om de partiellderiverte i et stasjonært punkt?

De er lik 0 ?, stemmer det ?

Men jeg vet ikke hva jeg skal gjøre videre etter at jeg har satt de = 0

Edit:

Jeg ser da for meg at i f.eks[tex] f`x (x,y) = -ye^y (4x-0.5)[/tex] så må enten [tex]-ye^y = 0,[/tex] eller [tex]4x-0.5 = 0[/tex] ?

Men jeg skjønner ikke hvordan jeg skal skrive opp dette, hvilken rekkefølge ting skal gjøres osv =/

[Vektormannen]

Det er helt riktig

Faktoren [tex]e^y[/tex] kan aldri bli 0, så enten må y = 0 ellers må 4x-0.5 = 0, altså x = 1/8. Alle punkter som har enten den x-verdien 1/8 eller y-verdien 0, dvs. alle punkter på formen (1/8, y) og (x, 0), vil være slik at [tex]f_x(x,y) = 0[/tex]. Men -- ikke alle disse vil være slik at [tex]f_y(x,y) = 0[/tex]. Nå setter du [tex]f_y(x,y) = 0[/tex]. Da får du ut de x- og y-verdiene som gjør at [tex]f_y[/tex] er 0.

edit: endret litt

[SNURRE]

Det er helt riktig

Faktoren [tex]e^y[/tex] kan aldri bli 0, så enten må y = 0 ellers må 4x-0.5 = 0, altså x = 1/8. Alle punkter som har enten den x-verdien 1/8 eller y-verdien 0, dvs. alle punkter på formen (1/8, y) og (x, 0), vil være slik at [tex]f_x(x,y) = 0[/tex]. Men -- ikke alle disse vil være slik at [tex]f_y(x,y) = 0[/tex]. Nå setter du [tex]f_y(x,y) = 0[/tex]. Da får du ut de x- og y-verdiene som gjør at både [tex]f_y[/tex] er 0.

edit: endret litt

så i Fy(x,y) må enten[tex] ( 1+y) = 0[/tex] , eller [tex](2x^2-0.5x) = 0[/tex]

Da har jeg funnet fra [tex]Fx[/tex], at enten må y være 0, eller x være 0.25

Fra [tex]Fy[/tex] så må enten [tex]y = -1[/tex], eller " x - verdien = ??, ser ikke helt løsningen her...

Men nå etter å ha funnet disse veridene, hva nå`?

Setter stor pris på hjelpen!
Men hva

[Vektormannen]

Dette er kanskje litt forvirrende. Jeg kan ta det fra starten av, så du kanskje ser litt av helheten her.

Vi vet at i et stasjonært punkt, så er begge de partiellderiverte 0. Når vi setter [tex]f_x(x,y) = 0[/tex] får vi at

[tex]f_x(x,y) = -ye^y(4x-0.5) = 0[/tex]
[tex]y = 0 \ \vee \ x = \frac{0.5}{4} = \frac{1}{8}[/tex]

Det vil si at alle punkter som har y-koordinat [tex]y = 0[/tex] eller x-koordinat [tex]x = \frac{1}{8}[/tex], vil gjøre at [tex]f_x(x,y) = 0[/tex]. Men så må vi finne hvilke av disse punktene som også gjør at [tex]f_y(x,y) = 0[/tex]:

[tex]f_y(x,y) = -e^y(1+y)(2x^2 - 0.5x) = 0[/tex]
Her må enten [tex]1+y = 0[/tex] som gir at [tex]y = -1[/tex], ellers må [tex]2x^2 - 0.5x = x(2x-0.5) = 0[/tex]. Da får vi at [tex]x = 0[/tex] eller [tex]x= \frac{0.5}{2} = \frac{1}{4}[/tex].

Da har vi funnet at alle punkter som har x-verdi [tex]x = 0[/tex] eller [tex]x = \frac{1}{4}[/tex], og alle punkter som har y-verdi [tex]y = -1[/tex] vil gjøre at [tex]f_y(x,y) = 0[/tex].

Ser du da at de stasjonære punktene må bli [tex](0,0)[/tex], [tex]\left(\frac{1}{4}, 0\right)[/tex] og [tex]\left(\frac{1}{8}, -1\right)[/tex]?

[SNURRE]

Dette er kanskje litt forvirrende. Jeg kan ta det fra starten av, så du kanskje ser litt av helheten her.

Vi vet at i et stasjonært punkt, så er begge de partiellderiverte 0. Når vi setter [tex]f_x(x,y) = 0[/tex] får vi at

[tex]f_x(x,y) = -ye^y(4x-0.5) = 0[/tex]
[tex]y = 0 \ \vee \ x = \frac{0.5}{4} = \frac{1}{8}[/tex]

Det vil si at alle punkter som har y-koordinat [tex]y = 0[/tex] eller x-koordinat [tex]x = \frac{1}{8}[/tex], vil gjøre at [tex]f_x(x,y) = 0[/tex]. Men så må vi finne hvilke av disse punktene som også gjør at [tex]f_y(x,y) = 0[/tex]:

[tex]f_y(x,y) = -e^y(1+y)(2x^2 - 0.5x) = 0[/tex]
Her må enten [tex]1+y = 0[/tex] som gir at [tex]y = -1[/tex], ellers må [tex]2x^2 - 0.5x = x(2x-0.5) = 0[/tex]. Da får vi at [tex]x = 0[/tex] eller [tex]x= \frac{0.5}{2} = \frac{1}{4}[/tex].

Da har vi funnet at alle punkter som har x-verdi [tex]x = 0[/tex] eller [tex]x = \frac{1}{4}[/tex], og alle punkter som har y-verdi [tex]y = -1[/tex] vil gjøre at [tex]f_y(x,y) = 0[/tex].

Ser du da at de stasjonære punktene må bli [tex](0,0)[/tex], [tex]\left(\frac{1}{4}, 0\right)[/tex] og [tex]\left(\frac{1}{8}, -1\right)[/tex]?

Tusen takk for en veldig god forklaring! Hjelper meg til å få taket på det her!

Jeg skjønner helt hvordan alle punktene blir funnet i[tex] f_y(x,y)[/tex] og i[tex] f_x(x,y)[/tex]
Men hvorfor blir stasjonærpunktene som du sier?

Hvordan vet jeg at det ikke blir [tex]( 1/8,0)[/tex] Forstår ikke helt hvordan jeg skal koble de x, og y verdiene vi har funnet sammen til stasjonærpunkter.

Edit:
Er det korrekt at jeg skal koble de y-verdien jeg finner i[tex] Fy[/tex] sammen med X-verdien funnet i[tex] Fx[/tex] og omvendt ?

[Vektormannen]

Du vet at det ikke blir [tex]\left(\frac{1}{8}, 0\right)[/tex], for setter du det punktet inn i [tex]f_y[/tex] så får du ikke 0! Hvis [tex]f_y[/tex] skal bli 0, må enten x-verdien være 0 eller 1/4, ellers må y være -1. Men i dette punktet er ikke x eller y noen av delene.

En annen vinkling kan være å tenke på det slik: Når vi løser [tex]f_x(x,y) = 0[/tex], så finner vi at enten må x = 1/8, eller så må y = 0. Det betyr at så langt vet vi at alle punkter på formen [tex]\left(\frac{1}{8}, y\right)[/tex] passer inn, og at alle punkter på formen [tex](x, 0)[/tex] passer inn. Andre punkter er uaktuelle, siden de gjør at [tex]f_x(x,y) \neq 0[/tex].

Så la oss nå sette inn disse punktene i [tex]f_y[/tex]:

[tex]f_y\left(\frac{1}{8}, y\right) = -e^y(1+y)(2x^2 - 0.5x)[/tex].

Nå vet vi at x = 1/8, så det som står inni parentesen med x blir et tall. Vi kan regne det ut om vi vil, men det vil ikke spille noen rolle, siden vi vil vite hva y må være for at uttrykket skal bli 0. Vi ser her at y må være -1. Da har vi altså bestemt punktet [tex]\left(\frac{1}{8}, -1\right)[/tex].

Så setter vi det andre generelle punktet på formen [tex](x, 0)[/tex] inn og får:

[tex]f_y(x,0) = -e^0(1+0)(2x^2 - 0.5x) = 0[/tex]

Da får vi ut at x = 0 eller x = 1/4. Da har vi fått at to av punktene på formen (x,0), nemlig de med x-verdier 0 og 1/4, passer inn og gir 0 i begge de partiellderiverte. Vi får altså de to stasjonære punktene [tex](0,0)[/tex] og [tex]\left(\frac{1}{4}, 0\right)[/tex].

[SNURRE]

Du vet at det ikke blir [tex]\left(\frac{1}{8}, 0\right)[/tex], for setter du det punktet inn i [tex]f_y[/tex] så får du ikke 0! Hvis [tex]f_y[/tex] skal bli 0, må enten x-verdien være 0 eller 1/4, ellers må y være -1. Men i dette punktet er ikke x eller y noen av delene.

En annen vinkling kan være å tenke på det slik: Når vi løser [tex]f_x(x,y) = 0[/tex], så finner vi at enten må x = 1/8, eller så må y = 0. Det betyr at så langt vet vi at alle punkter på formen [tex]\left(\frac{1}{8}, y\right)[/tex] passer inn, og at alle punkter på formen [tex](x, 0)[/tex] passer inn. Andre punkter er uaktuelle, siden de gjør at [tex]f_x(x,y) \neq 0[/tex].

Så la oss nå sette inn disse punktene i [tex]f_y[/tex]:

[tex]f_y\left(\frac{1}{8}, y\right) = -e^y(1+y)(2x^2 - 0.5x)[/tex].

Nå vet vi at x = 1/8, så det som står inni parentesen med x blir et tall. Vi kan regne det ut om vi vil, men det vil ikke spille noen rolle, siden vi vil vite hva y må være for at uttrykket skal bli 0. Vi ser her at y må være -1. Da har vi altså bestemt punktet [tex]\left(\frac{1}{8}, -1\right)[/tex].

Så setter vi det andre generelle punktet på formen [tex](x, 0)[/tex] inn og får:

[tex]f_y(x,0) = -e^0(1+0)(2x^2 - 0.5x) = 0[/tex]

Da får vi ut at x = 0 eller x = 1/4. Da har vi fått at to av punktene på formen (x,0), nemlig de med x-verdier 0 og 1/4, passer inn og gir 0 i begge de partiellderiverte. Vi får altså de to stasjonære punktene [tex](0,0)[/tex] og [tex]\left(\frac{1}{4}, 0\right)[/tex].

Kjempe forklaring! Tror jeg har forstått det nå! Tusen takk for all hjelpen
Er igjen en liten deloppgave på oppgaven jeg driver med, skal se om jeg får det til på egenhånd!