Funksjonsdrøfting

[ambitiousnoob]

Hei!

Står litt fast når jeg skal til med en oppgave her, det gjelder følgende oppgave:

Funksjonen f er gitt ved:

[tex]f(x)=-2x^4+4x^3 x<2[/tex]
[tex]f(x)=3x^2-18x+24 x>2[/tex]

Oppgaven går ut på å:

a) Bestem nullpunktene til funksjonen
b) Avgjør om funksjonen er kontinuerlig i x=2 (løst)
c) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter
d) Bestem eventuelle vendepunkter på grafen. Finn likningene for evntuelle vendetangenter
e) Tegn grafen og eventuelle vendetangenter.

Problemet ligger litt i hvordan jeg skal angripe 4. gradslikningen, ser for meg at det må deriveres, faktoriseres og settes i fortegnsskjema, men ser ikke helt hvordan dette skal løses.

Noen som kunne gitt noen gode pekepinner på hvordan dette best gripes an?

[Nebuchadnezzar]

a)

La oss nå anta at [tex]x<2[/tex]

Da har vi likningen

[tex]-2x^4+4x^3=0[/tex]
[tex]x^3(-2x+4)=0[/tex]
[tex]x^3=0 \; \vee \; -2x+4=0[/tex]

osv

Den andre kan man faktorisere ut 3, og får en fin andregradslikning.

c) Derivere funksjonen

[tex]-8x^3+12x^2[/tex]
[tex]4x^2(-2x^3+3[/tex]) osv

Fortegnskjema osv

d) dobbelderivere, fortegnsskjema osv.

e) Tegne grafen burde gå fint når du har gjort de andre.

[Integralen]

Se også linken http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=17190

dersom du trenger mer hjelp til d) .

[ambitiousnoob]

Tusen takk for svar begge to!

Jeg ble litt usikker på denne:

a)



[tex]-2x^4+4x^3=0[/tex]
[tex]x^3(-2x+4)=0[/tex]
[tex]x^3=0 \; \vee \; -2x+4=0[/tex]

.

Hva er det som står i siste linjen, altså hva betyr V`en?

[Nebuchadnezzar]

[tex]\vee[/tex] Er egentlig bare en fancy måte og skrive eller på

om [tex]a\cdot b=0[/tex] vet man at enten så må [tex]a=0[/tex] eller så må [tex]b=0[/tex]

[ambitiousnoob]

Hei igjen!

Sitter fortsatt og sliter litt med c) i denne oppgaven...


Kunne du kanskje utdypet denne ennå litt mer?

[MatteNoob]

Funksjonen f er gitt ved:

[tex]f(x)=-2x^4+4x^3\;\; x<2[/tex]

[tex]f(x)=3x^2-18x+24 \;\; x>2[/tex]

c) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter

Vet du hvordan du bruker den deriverte til å finne ekstremalpunkter (bunn-/toppunkter)?

Hvis ikke: Der den deriverte er lik null, har du et ekstremalpunkt. Det er fordi den deriverte gir deg stigningstallet til tangenten i dette punktet. Når stigningstallet er null, er tangenten en rett linje, og dermed har den ingen stigning.

Finn først ekstremalpunktet og bruk deretter det du kan om den deriverte til å undersøke forløpet til den deriverte. Jeg mener at du skal dobbeltderivere for å undersøke hvordan den deriverte oppfører seg i disse ekstremalpunktene.

Som du vet, er en funksjon stigende når den deriverte er positiv og synkende når den deriverte er negativ.

[Nebuchadnezzar]

Jeg kan gjøre første halvdel av c) for deg

Nå ser jeg bare på [tex]3x^2-18x+24[/tex]

Den deriverte gir stigningstallet til funksjonen, og stigningstallet i topp og bunnpunktene er jo null.

[tex]f(x)=3x^2-18x+24 \qquad x>2[/tex]
[tex]f^{\tiny\prime}(x)=6x-18 \qquad\qquad \qquad \qquad x>2[/tex]

Ser vi greit at [tex]f^{\tiny\prime}(x)=0[/tex] når [tex]x=3[/tex]

Så ser vi at [tex]x=3[/tex] er større enn [tex]2[/tex]. Dette er veldig viktig.Siden det er bare da funksjonen er definert. Får vi et nullpunkt som for eksempel var [tex]x=-2[/tex] kunne vi ikke ha brukt det. Vi vet at [tex]x=3[/tex] er enten et saddelpunkt/terrasepunkt. Se på [tex]x^3[/tex] når [tex]x=0[/tex] om du er usikker på hva dette er.

Så ser vi at [tex]f^{\tiny\prime}(x)[/tex] har negativt stigningstall når [tex]x<3[/tex] og positivt stigningstall når [tex]x>3[/tex]

Det vi kan konkludere med da er at funksjonen synker før [tex]x=3[/tex] og stiger etter [tex]x=3[/tex]. Dermed er [tex]x=3[/tex] et bunnpunkt for funksjonen.

[ambitiousnoob]

Hei takk for et godt svar!

Ok jeg ser den første der. På den andre, prøvde jeg meg litt fram og fant at x=1,5 gir 0 i den likningen, og det oppfyller jo også at x er mindre enn to, så da er vel den òg gyldig. Ser også at da blir det motsatt av det du skriver, her blir x positiv når x<2 og negativ når x>2, så antar at man da har funnet et toppunkt? Det jeg fortsatt er litt usikker på er hvordan jeg kunne kommet fram til det ved regning, man står jo igjen med en tredjegradslikning, er det bare da å plotte dette inn på kalkulatoren eller har du en greiere måte å se det på? Faktorisering og fortegnsskjema?

Edit:

På d) så har jeg nå funnet vendepunktene 0,0 og 1,2 utifra det øverste funksjonsuttrykket. Men når man dobbelderiverer det nederste ender man jo opp med f``(x)=6. Hvordan finner man da vendepunktet her?

[Nebuchadnezzar]

[tex]\begin{array}{l}f\left( x \right) = - 2{x^4} + 4{x^3} \\ f^{\tiny\prime}\left( x \right) = - 8{x^3} + 12{x^2} \\ f^{\tiny\prime}\left( x \right) = - 8{x^2}\left( {x - \frac{3}{2}} \right) \\ \end{array}[/tex]





Angående d) Ser jo vi at nederste del er en andregradsfunksjon, og de har ikke noe vendepunkt. Videre kan man jo kalle x=2 et vendepunkt, men litt skeptisk til det siden den ikke er deriverbar der.

[ambitiousnoob]

Hei igjen takk for fremstillingen, hvilket program har du brukt for å tegne grafen der?

I fasiten er 2,0 et vendepunkt så ser ut som du har rett der og! Men det er vel sjeldent godt nok å si at man ser at x=2 er et vendepunkt på grafen?