Bestemt integral - Tilnærming trapesformelen

[mstud]

Oppgaven er:

d) Bruk trapesformelen til å vise at [tex]\int\limits_{2}^{6} ln\ x \ dx \approx ln (5!)+\frac 12 ln 3[/tex] når avstanden mellom de parallelle sidene i trapesene er lik 1.


Andre opplysninger jeg har fått i oppgaven er:

Trapeformelen for seks intervaller: [tex]A \approx \frac {a}2 (y_1 +2y_2 +2y_3 + 2y_4 +2y_5 +y_6 )[/tex] , der a er avstanden mellom de parallelle sidene i trapesene.

Har dessuten at [tex]\int\limits_{2}^{6} ln\ x \ dx=6ln3+4ln2-4[/tex] , vet ikke om det har noe å si i denne oppgaven, muligens for å kontroller svaret i hvertfall.

Det lengste jeg egentlig kom selv var å finne ut at jeg regner med at jeg på en eller annen måte skulle vise (omtrent) at:

[tex]ln (5!)+\frac 12 ln 3=\frac {1}2 (y_1 +2y_2 +2y_3 + 2y_4 +2y_5 +y_6 )\approx \int\limits_{2}^{6} ln\ x \ dx [/tex]


Stemmer det?

(Jeg må vel også ta hensyn til at jeg kun skal ha intervallet fra 2-6, og det midterste utrrykket jeg skrev over er jo for intervallet fra 1-6 (y[sub]1[/sub]=0) )

Kan dere gi meg noen hint om hvordan jeg skal løse denne?

[Nebuchadnezzar]

Det jeg ville gjort er å aller først lage en tegning av problemet...
Hva de mener med trapesformelen er jeg litt usikker på. Her anatr jeg at de mener at vi deler opp integralet i rektangler, og der bredden av rektangelet er en.

Som vist på tegningen her blir da integralet delt opp i 4 deler.

Høyden er rimelig grei å finne.

Og jeg mener bestemt at du ikke får 6 intervaller her men 4. Siden bredden skal være en. Fra 2 til 6 er åpenbart 4.

Så finn summen av disse rektanglene, for å være ekstra sikker kan man også finne arealet av oversummen. Gjennomsnittet av oversummen og undersummen, gir en veldig bra tilnærming til integralet.

[Vektormannen]

Med trapesformelen menes det nok å dele opp tilnærmingen i trapeser i stedet for rektangler, og bruke arealformelen for trapeser. Men ellers blir det å tenke nøyaktig slik Nebuchadnezzar har vist. Hvis jeg ikke tenker feil bør det gi det samme som om man tar snittet av oversummene og undersummene (med rektangler.)

[mstud]

Problemet mitt var ikke å regne sammen arealene av trapesene , men hva jeg skulle med den trapesformelen, det tror jeg nå jeg har funnet ut, det var jo ikke så veldig avansert, bare litt annerledes enn den metoden jeg pleier å gjøre det på (ca. slik Nebuchadnezzar skrev jeg kunne gjøre)...

Hvem spør dumme spørsmål her (forhåpentligvis ikke jeg):oops:


Jeg tror jeg fant ut hva det var meningen jeg skulle gjøre, da bruker jeg sånn cirka den formelen som var oppgitt at skulle brukes:

Summen av arealene av trapesen er, når a=1 og y[sub]n[/sub]=ln n :

[tex]\frac {1}2 (ln2+2ln3+2ln4+ln5)[/tex] , så gjenstår det bare å vise at dette er lik ln (5!)+ 1/2 ln3 , og her må jeg da innrømme at jeg ikke ser helt hvordan jeg kommer fram til det (er en god stund siden sist jeg holdt på med å regne sammen logaritmer, og ser derfor ikke helt hvilke regler jeg skal bruke for å komme fram til !nøyaktig! det svaret)
Noen som har det friskt i minne og kan hjelpe?

[Nebuchadnezzar]

Det du får er dessverre riv ruskende galt

Svaret skal bli ca 5.33 der min metode gir 5.61 mens det egentlig integralet er 5.62

du får dessverre 3.62 som er langt unna.

Prøv igjen og se opp for slurvefeil

[mstud]

Stemmer at det var galt:

Jeg skulle egentlig ha, med den formelen jeg brukte:

[tex]\frac 12 (ln2+2ln3+2ln4+2ln5+ln6)[/tex], så får vi se om den går an å skrive om ...

Dette ga at arealet var ca. 5,34, og er jo dermed en god tilnærming...

(I sted fant jeg arealet mellom 2 og 5, istedenfor mellom 2 og 6)... Skjønner ikke hva jeg tenkte på.