Avgjøre om en rekke er absolutt eller betinget konvergent?

[Tobbelobben]

Skal avgjøre om følgende rekke er betinget eller absolutt konvergent. Klarer rett og slett ikke se hvor jeg skal begynne en gang.

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} (n^{\frac{1}{n}} - 1)^n[/tex]

[Vektormannen]

Begynn med å sjekke om den er absolutt konvergent. Siden du har en eksponent n her, kan det lønne seg å prøve på rot-testen, å se på grenseverdien [tex]\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}[/tex]. Hva får du da?

edit: jeg ser forresten at du har skrevet i som løpevariabel her. Jeg antar du mener n?

[Tobbelobben]

[tex]\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|(n^{\frac{1}{n}} - 1)^n|} = 0[/tex].

Dermed konvergerer rekken absolutt?

Ja, mente n som løpevariabel.

[Vektormannen]

Det stemmer

Husk å vise hvordan du fant denne grenseverdien hvis dette skal leveres inn eller noe slikt.

[Tobbelobben]

Okei, takker! Tja, jeg testet for n=5, n=25 og n=50, og så at [tex]a_n[/tex] ble mindre og mindre. Trenger jeg noen mer formell bevisføring, kanskje?

[Vektormannen]

Strengt tatt så bør du det ja, selv om det kan virke ganske innlysende. Men det er ikke alltid det som virker intuitivt er det riktige. (F.eks. kan det jo være fristende å konkludere med at rekken med ledd 1/n konvergerer, siden leddene blir mindre og mindre, men den divergerer jo faktisk.)

For å vise det formelt kan du f.eks. se på grensen av [tex]\ln(n^{\frac{1}{n}})[/tex].