Omdreiningslegeme: Overflaten av en kule

[mstud]

Hei!

Har et par deloppgaver jeg ikke får til:

d) Bruk formelen [tex]O=2\pi \ \int\limits_{a}^{b} y*\sqrt{1+(y^\prime)^2} dx[/tex] til å vise at overflaten av en kule med radius r er [tex]4\pi r^2[/tex], ta utgangspunkt i en halvsirkel plassert i et koordinatsystem.(skjærer x-aksen i -r og i r, y-aksen i y=r).

e) En marsipankule dekt med sjokolade blir skåret i skiver med samme tykkelse. Vis at alle skivene får like stor sjokoladeflate (i oppgaven sto det faktisk sjokoladeplate , for en mattebok...)

I d) prøvde jeg med (med forbehold om at jeg kan ha skrevet utregningene mine feil inn her og riktig i skriveboken):

Ligningen for halvsirkelen er [tex]y^2+x^2=r^2[/tex], dvs. [tex]y=\sqrt{r^2-x^2}[/tex], setter dette og grensene -r og r inn i uttrykket for O, får da:

[tex]O=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{1+((sqrt{r^2-x^2})^\prime)^2} dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{1+(((r^2-x^2)^{\frac 12})^\prime)^2} dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{1+(\frac 12(r^2-x^2)^{-\frac 12}))^2} dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{1+(\frac 14(r^2-x^2)^{-1})} dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} sqrt{r^2-x^2+\frac 14(\frac{r^2-x^2}{r^2-x^2})} dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} sqrt{r^2-x^2+\frac 14} dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} (r^2-x^2+\frac 14)^{\frac 12} dx=[/tex]

Synes ikke dette ser riktig ut, så kan noen si meg hva jeg har gjort feil??

I e) skal jeg vel bruke noe sånt som at integrallet er summen av alle de tynne skivene, og overflatene deres er like store, eller?

[Janhaa]

d)
jeg orker ikke skrive alt her, men ser ut som om du har glemt kjerneregelen. -2x kommer under rottegnet også. til slutt etter forkortinger etc ender du opp med:

[tex]\sqrt{1+(y^,)^2}={r\over y}[/tex]

slik at:

[tex]O=2\pi\int_{-r}^{r}y\,{r\over y}\,dx= 2\pi r\int_{-r}^{r}\,dx=4\pi r^2[/tex]
========================
e)
greia her er at arealet ikke er avhengig av hvor man begynner å skjære. Arealet er bare avhengig av radien og bredden.

[mstud]

d)
jeg orker ikke skrive alt her, men ser ut som om du har glemt kjerneregelen. -2x kommer under rottegnet også. til slutt etter forkortinger etc ender du opp med:

[tex]\sqrt{1+(y^,)^2}={r\over y}[/tex]

slik at:

[tex]O=2\pi\int_{-r}^{r}y\,{r\over y}\,dx= 2\pi r\int_{-r}^{r}\,dx=4\pi r^2[/tex]
========================
e)
greia her er at arealet ikke er avhengig av hvor man begynner å skjære. Arealet er bare avhengig av radien og bredden.

Nå har jeg prøvd å fikse det i min skrivebok, og får da: [tex]\sqrt{1+(y^,)^2}=\sqrt{1+\frac {x^2}{r^2-x^2}[/tex], men kan det forkortes til [tex]{r\over y}[/tex] Hvis ikke får jeg se over enda mer...

[Janhaa]

Nå har jeg prøvd å fikse det i min skrivebok, og får da: [tex]\sqrt{1+(y^,)^2}=\sqrt{1+\frac {x^2}{r^2-x^2}[/tex], men kan det forkortes til [tex]{r\over y}[/tex] Hvis ikke får jeg se over enda mer...

stemmer dette:

[tex]\sqrt{1+(y^,)^2}=\sqrt{1+\frac {x^2}{r^2-x^2}}= \sqrt{\frac {r^2-x^2+x^2}{r^2-x^2}}= \sqrt{\frac{r^2}{y^2}}={r\over y}[/tex]

[mstud]

Hei!

Takk for at du satte meg på sporet igjen Janhaa
Jeg fant ut i går kveld (rundt midnatt) at, og hvordan det gikk an å forkorte det.

Tror jeg poster løsningen min her, for jeg så når jeg googlet at det ikke fantes en helt fullstendig løsning noe sted, i hvert fall ikke på norsk. (De fleste, også på mange engelske sider, hoppet bukk over ett eller annet trinn for å få det de visste de skulle ha til slutt).

Og siden jeg har som mål å publisere det mest fullstendige løsningsforslaget på norsk for å bevise at overflaten av en kule er [tex]4\pi r^2[/tex], må dere bare gi beskjed hvis dere finner noen feil i det ... :

Formelen jeg starter ut med, er: [tex]O=2\pi \ \int\limits_{a}^{b} y*\sqrt{1+(y^\prime)^2} \ dx[/tex] Vi har at y[sup]2[/sup]+x[sup]2[/sup]=r[sup]2[/sup], da må vi finne y: y[sup]2[/sup]=r[sup]2[/sup]-x[sup]2[/sup] , dvs. at [tex]y=\sqrt{r^2-x^2}[/tex]. Halvsirkelen dette er ligningen for, skjærer x-aksen i -r og i r, dermed er nedre grense -r, og øvre grense r.

Vi setter inn i formelen for O, og får:
[tex]O=2\pi \ \int\limits_{a}^{b} y*\sqrt{1+(y^\prime)^2} \ dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{1+((\sqrt{r^2-x^2})^\prime)^2} \ dx[/tex]

For å forenkle derivasjonen, skriver vi kvadratroten som "opphøyd i 1/2", og kan da bruke potensregelen og kjerneregelen til å derivere y, vi får:

[tex]2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{1+((({r^2-x^2})^{\frac 12})^\prime)^2} \ dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{1+(\frac 12*-2x*({r^2-x^2})^{\frac 12 -1})^2} \ dx[/tex] Vi kan da stryke 2-tallene i -2x* 1/2, slik at vi får x der, og i tillegg har vi at 1/2 -1=-1/2. Vi setter dette inn i uttrykket for O og opphøyer i 2:

[tex]2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{1+(\frac 12*-2x*({r^2-x^2})^{\frac 12 -1})^2} \ dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{1+(-x*({r^2-x^2})^{-\frac 12})^2} \ dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{1+(-x)^2*(({r^2-x^2})^{-\frac 12})^2} \ dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{1+x^2*({r^2-x^2})^{-\frac 12 *2}} \ dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{1+x^2*({r^2-x^2})^{-1}} \ dx[/tex]. Så forenkler vi dette uttrykket trinn for trinn:

[tex]2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{1+\frac {x^2}{r^2-x^2}} \ dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{\frac {r^2-x^2}{r^2-x^2}+\frac {x^2}{r^2-x^2}} \ dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{\frac {r^2-x^2+x^2}{r^2-x^2}} \ dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}*\sqrt{\frac {r^2}{r^2-x^2}} \ dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}*\frac {\sqrt{r^2}}{\sqrt{r^2-x^2}} \ dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}*\frac {r}{\sqrt{r^2-x^2}} \ dx[/tex]. Da står vi igjen med at:

[tex]2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}*\frac {r}{\sqrt{r^2-x^2}} \ dx=2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \ r \ dx[/tex]. Og integralet av dette blir:

[tex]2\pi \ \int\limits_{-r}^{r} \ r \ dx=2\pi * \left[rx \right]_{-r}^{r}=2\pi * (r*r-(r*(-r)))=2\pi * (r^2+r^2)=2\pi*(2r^2)=4\pi r^2[/tex].
Og dermed er vi i mål...

Ser dette bra ut ??? Håper det

[Vektormannen]

Det ser bra ut dette