Potensrekkepresentasjon

[Tarzan]

S(x) = "integralet (fra 0 til x)" sin ( (pi t^2)/2) dt.

Finn potensrekkepresentasjonen til S(x) og S´(x) og angi hvor de er gyldige.

Noen som har noen tips til hvordan man løser opppgaven? Er det smart å begynne med å løse opp integralet og deretter finne potensrekkepresentasjonen til S(x)?

[Vektormannen]

Du klarer ikke å løse det integralet der rett frem (jeg antar det også er det som er poenget med oppgaven.) Hvis du først tar å finner Maclaurinrekken til funksjonen, så kan du integrere denne leddvis.

[Tarzan]

Ok. Takk for svar

Dersom vi tar et variabelskifte og sier: x-> (pi/2) t^2. Er dette da ekvivalent med å si at t= "Roten av" (2/pi)x ?

[Vektormannen]

Ja. Men hvorfor vil du bytte variabel? Hvis du vil gjøre det må du i alle fall kalle den noe annet enn x, som er øvre grense i integralet.

[Tarzan]

glem det med variabelbytte. Jeg tenkte litt feil :p Neste spørsmål:

Jeg tok utganspunkt i maclaurinrekken til sin (x) for å finne S(x) og S´(x). Maclaurinrekken til Sin(x) er definert for alle x. Blir det da riktig å si at S(x) og S`(x) også er gyldig for alle x?

[Vektormannen]

Det blir riktig ja. Hvis rekken er gyldig for alle x blir den også gyldig for alt du måtte finne på å sette inn for x, f.eks. [tex]\frac{\pi}{2}t^2[/tex]. Konvergensradiusen vil heller ikke endres ved derivasjon/integrasjon.

[Tarzan]

ok. Har du noen tipst til hvordan man skal regne ut den 100deriverte av S(0). Antar at dette blir lik 0, siden x er med i hvert ledd i rekken uansett hvor mange ganger man deriverer, men klarer ikke å vise dette på en god måte..

[Vektormannen]

Ikke alle leddene vil inneholde x. De leddene som har x med en potens under 100 vil bli 0 en eller annen gang i løpet av derivasjonene. De med potens over 100 vil som du sier bli "et eller annet" med x, som vil bli 0 ved innsetting av 0. Men vil rekken ha et ledd med en potens av x med eksponent 100?

[Tarzan]

Nå har jeg derivert S(x) noen ganger og slik jeg ser det vil vi få et opplagt mønster, der vi ved hver 4 derivasjon får en kansellering av det første leddet i rekken. Ved den 100de derivasjonen vil også det første leddet forsvinne, noe som medfører at vi bare sitter igjen med ledd som inneholder x, noe som igjen medfører at den 100deriverte av S(0) = 0. Høres dette riktig ut?

[Baz]

Hva er svaret på a?

Altså hva er maclaurinrekke?

[Tarzan]

Vi har enMaclaurin rekke dersom sentrum for konvergens er lik x

[Baz]

ja.. Men hvordan ser rekkene ut i dette tilfellet? Tror jeg er på sporet. Men er litt usikker!

[Tarzan]

Her er (ca) fasiten:

http://en.wikipedia.org/wiki/Fresnel_integral

men du må sef. vise utrgning på innleveringen

[Baz]

Nice!