Differensialligning 3

[Razzy]

[tex]$${y^\prime } + 2y = 4x$$[/tex]

[tex]$${y^\prime } = 4x - 2y$$[/tex]

Hva gjør jeg så?

Forslag 1. [tex]$${y^\prime } = 2\left( {2x - y} \right)$$[/tex]

Forslag 2. [tex]$${{{y^\prime }} \over 2} + {{2y} \over 2} = {{4x} \over 2}$$[/tex]

Finnes det et tredje forslag som er bedre tro? Hele prinsippet er vel å få y-ene på den ene siden alene?

[mstud]

[tex]$${y^\prime } + 2y = 4x$$[/tex]

[tex]$${y^\prime } = 4x - 2y$$[/tex]

Hva gjør jeg så?

Forslag 1. [tex]$${y^\prime } = 2\left( {2x - 1} \right)$$[/tex]

Forslag 2. [tex]$${{{y^\prime }} \over 2} + {{2y} \over 2} = {{4x} \over 2}$$[/tex]

Finnes det et tredje forslag som er bedre tro? Hele prinsippet er vel å få y-ene på den ene siden alene?

Forslag 1 er ihvertfall feil, venstre side måtte da være 2(2x-y), men tror ikke det hjelper stort...

[Razzy]

[tex]$${y^\prime } + 2y = 4x$$[/tex]

[tex]$${y^\prime } = 4x - 2y$$[/tex]

Hva gjør jeg så?

Forslag 1. [tex]$${y^\prime } = 2\left( {2x - 1} \right)$$[/tex]

Forslag 2. [tex]$${{{y^\prime }} \over 2} + {{2y} \over 2} = {{4x} \over 2}$$[/tex]

Finnes det et tredje forslag som er bedre tro? Hele prinsippet er vel å få y-ene på den ene siden alene?

Forslag 1 er ihvertfall feil, venstre side måtte da være 2(2x-y), men tror ikke det hjelper stort...

Skrev selvfølgelig feil, retta det nå til: [tex]$${y^\prime } = 2\left( {2x - y} \right)$$[/tex]

[mstud]

Har et tredje forslag, men om det er bedre er jeg ikke sikker på :

[tex]y^{\prime}+2y=4x[/tex] dvs. [tex]\frac {y}{dx}+2y=4x [/tex]

kan skrives som [tex]y+2y*dx=4x \ dx[/tex], dvs. [tex]y+2y^{\prime}=4[/tex], stemmer det ?

[Vektormannen]

Nei, det stemmer ikke. y' = dy/dx, ikke y/dx.

[mstud]

Kanskje det kun er mulig å løse denne vha. å gange med integrerende faktor, som du iflg. tidl. innlegg ikke skal lære, og at du i så fall ikke trenger kunne løse denne diff-ligningen.
Men en skulle tro at denne var separabel, så hvis jeg påstår at en kanskje kun kan løse denne ved å gange m. integrerende faktor, kommer det nok et geni og "oppdrar" meg litt

Hvis det er så at denne ikke er separabel, så ville jeg gjerne hatt en forklaring på hvorfor !!! Kan noen derfor gi meg det?

[Razzy]

Nei, det stemmer ikke. y' = dy/dx, ikke y/dx.

Kan denne kun løses med å multiplisere med integrerende faktor (altså metoden jeg ikke får servert på mitt kurs)

Da må jeg i allefall lære med å skille mellom oppgaver der man kan, og der man ikke kan løse likningen som separabel likning.

Hva mener du Vektormannen?

[mstud]

Nei, det stemmer ikke. y' = dy/dx, ikke y/dx.

Men er det da ikke mulig å gange med dx? Og få ut dy+2y^{\prime}=4, hvordan skal man da tolke dy?

[Vektormannen]

Nei, det stemmer ikke. y' = dy/dx, ikke y/dx.

Kan denne kun løses med å multiplisere med integrerende faktor (altså metoden jeg ikke får servert på mitt kurs)

Da må jeg i allefall lære med å skille mellom oppgaver der man kan, og der man ikke kan løse likningen som separabel likning.

Hva mener du Vektormannen?

En separabel differensialligning er på (eller kan omskrives til) formen [tex]y^\prime = f(x) \cdot g(y)[/tex], slik at man videre kan separere uttrykket f(x) fra uttrykket g(y) på hver sin side: [tex]\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx[/tex] og så integrere hver side.

Det er umulig å få ligningen [tex]y^\prime + 2y = 4x[/tex] over på en slik form, så den er ikke separabel, og da må du bruke metoden med integrerende faktor.

[Vektormannen]

Nei, det stemmer ikke. y' = dy/dx, ikke y/dx.

Men er det da ikke mulig å gange med dx? Og få ut dy+2y^{\prime}=4, hvordan skal man da tolke dy?

Hva mener du med å tolke dy?

[mstud]

Siden dy/dx ikke kan skrives y/dx. Når jeg bruker samme framgangsmåte som ofte ellers, får jeg da ut [tex]dy+2y^{\prime}=4[/tex]. Hva betyr dy i denne sammenhengen, mente jeg med å tolke dy.

Når dy ikke er det samme som verken y derivert for x eller y, gir dette uttrykket altså ikke mening? Har dette noen sammenheng med det at det egentlig ikke går an å betrakte dy/dx som en brøk? Men vi regner jo ofte som om det vat det f.eks gange med dx på begge sider..

[Vektormannen]

Hvordan får du ut dy + 2y' = 4? Jeg tror ikke jeg er helt med på hva du mener. Men jeg er enig i at det er mye "rart" med dette her.

dy/dx betyr "den deriverte av y med hensyn på x". Du kan også tenke på det som en liten endring i y delt på den tilsvarende endringen i x som skal til for å gi denne endringen i y. Hvis du er kjent med definisjonen av den deriverte så bør dette gi litt mening. Så du kan tenke på dy som en liten endring i funksjonen y og dx som en liten endring i x. Om dette hjelper noe særlig på forståelsen av hvordan du kan tolke dy i en slik ligning, vet jeg ikke helt...

[mstud]

Den var visst litt for kjapp, for det jeg fikk ut var visst ikke helt det, når jeg ganget med dx fikk jeg [tex]dy+2y \ dx=4x dx[/tex], men det gir vel kanskje ikke mening, for hvordan derivere y for noe man ikke vet hva er, det blir jo bare å derivere ut i løse luften og hvordan vite hva 2y*dx er ...

[Vektormannen]

Ja, det stemmer. Og det er på sett og vis det som er problemet her. Man klarer ikke å få ligningen på en slik form at man kan separere den (dvs. få "alt med x" på én side og "alt med y" på motsatt side) og så integrere. Man må bruke metoden med integrerende faktor.

[mstud]

Takk! Så er forhåpentlgivis jeg (og kanskje Razzy også) blitt litt klokere, men bare litt, så det blir nok flere spørsmål fra oss, bare vent...

Det var det jeg lurte på ganske tidlig om det var slik at den ikke var separabel, og man måtte bruke metoden med integrerende faktor. Og hvis jeg noen gang blir matematiker, kommer nok ikke jeg heller til å kunne finne på en annen metode å løse dette på