Et par differensialligninger ...

[mstud]

Hei!

Skal løse noen differensialligninger her som jeg tror gikk litt feil et eller annet sted, da jeg ikke får samme svar som fasit ... Hva er i så fall feil her?

b) [tex]y^{\prime}=x+y[/tex]
Dette er mitt forsøk på å løse oppgaven:

Integrerende faktor er: [tex]e^{\int -1 dx} \ \ =e^{-\int \ dx} \ \ =e^{-x}[/tex]

Ganger med integrerende faktor på begge sider:

[tex]y^{\prime} + (-1)*y=e^{-x}[/tex]

[tex]y^{\prime}*e^{-x} -y*e^{-x}=e^{-x}*e^{-x}[/tex], dvs.



Venstre side ville vært resultatet av å derivere [tex]y*e^{-x}[/tex], dermed har vi at:

[tex](y*e^{-x})^\prime=x*e^{-x}[/tex] Jeg integrerer begge sider:

[tex]y*e^{-x}=x*e^{-x}-\int e^{-x} dx \ dvs. \ at \ y*e^{-x}=x*e^{-x}+e^{-x}+C[/tex] Deler på [tex] e^{-x}[/tex] og får:

[tex]y=x+1+\frac {C}{e^{-x}} \ , \ dvs. \ y=x+1+C*e^x[/tex] , men fasiten har: [tex]-x+1+c*e^{-x}[/tex] Hvor får de minusen fra?

Lurer på et par til av deloppgavene i oppg., så kommer nok til å poste dem også etterhvert...

edit: rettet feil i avskrivningen av oppg., forhåpentligvis ...

[Vektormannen]

Det er ikke riktig integrerende faktor. Integrerende faktor her blir [tex]e^{2x}[/tex]. Det er funksjonen/konstanten som y er ganget med du skal integrere. Eller mer generelt, i en diffligning på formen [tex]y^\prime + f(x) y = g(x)[/tex] er [tex]e^{\int f(x) dx}[/tex] integrerende faktor. Her er f(x) = 2.

[mstud]

Det er ikke riktig integrerende faktor. Integrerende faktor her blir [tex]e^{2x}[/tex]. Det er funksjonen/konstanten som y er ganget med du skal integrere. Eller mer generelt, i en diffligning på formen [tex]y^\prime + f(x) y = g(x)[/tex] er [tex]e^{\int f(x) dx}[/tex] integrerende faktor. Her er f(x) = 2.

Oisann , jeg skrev ligningen for oppgave a, og integrerende faktor for oppgave b), skal rette det..

edit: Ser det bedre ut nå? Men det forandret jo ikke svaret mitt i forhold til fasitsvaret

[Vektormannen]

Feilen din ligger i at du gjør en fortegnsfeil i den delvise integrasjonen.

[tex]\int x e^{-x} dx = x(-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) dx[/tex] osv.

edit: gjorde visst en liten fortegnsfeil jeg også

[mstud]

Så enkelt var det, ja. Takk for hjelpen så langt, da slenger jeg på et spørsmål fra deloppgave e),
( c) og d) skal jeg først prøve å se over en gang til selv)...

Der er diff.ligningen:

[tex]y^\prime + \frac {cosx}{sin(x) \ +2} y=1[/tex] , da er integrerende faktor her [tex]e^{\int \frac {cos x}{sinx\ +2} dx[/tex], så hvordan kan jeg lettest integrere [tex]\int \frac {cos x}{sinx\ +2} dx[/tex] ?

[Vektormannen]

Du har sin x + 2 i nevneren, og i telleren har du den deriverte av sin x + 2, nemlig cos x. Hvilken metode kan du se for deg passer bra da?

[mstud]

Substituere u=sin x + 2 , da blir det ganske enkelt?

I c) (og også i d) ) må jeg integrere noe ganget med [tex]e^{-x^2}[/tex], f.eks. [tex]2x * e^{-x^2}[/tex] i d), fordi integrerende faktor er [tex]e^{-x^2}[/tex], hva er den letteste måten der da?

d) er enda verre, så er ikke sikkert jeg tar den heller helt av meg selv, for der skal jeg integrere [tex]2(x^2+3)^2 * e^{-x^2}[/tex] hvis ikke jeg har gjort feil til det trinnet der man skal integrere begge sider...

[Vektormannen]

Ja, substitusjon er det enkleste (og antagelig det eneste mulige.)

I c) har du 2x ganget med [tex]e^{-x^2}[/tex]. Da bør du gjenkjenne at 2x er den deriverte av [tex]e^{-x^2}[/tex] (bare uten negativt fortegn, men det er ikke noe problem), så også her vil substitusjon føre frem.

I d) tror jeg kanskje du har gjort noe feil ja, for det integralet der ser umulig ut, siden du får en konstant ganger [tex]e^{-x^2}[/tex] når du ganger ut parentesen, og et slikt integral er umulig å løse. Hvordan så ligningen ut?

[mstud]

Hei igjen!

Dette ble litt "long break", ikke fra matten, men fra pc-en...

Differensialligningen i d) var:

[tex](x^2+3)y^\prime - 2xy=2(x^2+3)^2[/tex], så da blir her som i c) integrerende faktor [tex]e^{\int -2x} \ =e^{-x^2}[/tex], men ser nå at det blir vel kanskje ikke helt det jeg foreslo i sted?

Jeg får vise det jeg kan så langt jeg kommer, og så må jeg nok hjelpes videre...

[tex](x^2+3)y^\prime - 2xy=2(x^2+3)^2[/tex]

[tex](x^2+3)y^\prime * e^{-x^2} - 2xy*e^{-x^2}=2(x^2+3)^2*e^{-x^2}[/tex]

Men nå så jeg noe litt annet, har jeg ikke bruk for den integrerende faktor her, for er ikke venstresiden før jeg ganger med integrerende faktor den deriverte av produktet [tex](x^2+3)*y[/tex]?
Da blir det vel bare å integrere høyresiden, altså [tex]2(x^2+3)^2[/tex] for å komme videre, eller?

Så får jeg prøve det du skrev på c) mens jeg venter på svar her...

Takk for hjelpen så langt

edit: ordnet noen feil i tex-en, tror innlegget ble mer lesbart nå Er den snarveien jeg foreslo nederst her ikke lovlig, i så fall hvorfor?

[Vektormannen]

Husk at det er når ligningen er på formen [tex]y^\prime + f(x)y = g(x)[/tex] at integrerende faktor vil være e opphøyd i integralet av f(x). Det skal ikke være noe ganget med y'. Det betyr her at du først må omforme ligningen din slik at den er på en slik form. Dvs. at du må dele på det som står foran y'.

[mstud]

d) [tex]((x^2+3)y)^\prime =2(x^2+3)^2[/tex]

Jeg fikk et problem allikevel, ...

For når jeg integrerer begge sider her får jeg:

[tex](x^2+3)y=2\int(x^2+3)^2 \ dx=2\int(x^4+6x^2+9) \ dx=2(\frac 15 x^5+2x^3+9x)+C=\frac 25 x^5+4x^3+18x+C[/tex], og når jeg da deler begge sider på (x^2+3) for å finne y, kan ikke det utrykket jeg har på høyre siden forkortes noe særlig:
[tex]\frac {\frac 25 x^5+4x^3+18x+C}{x^2+3}[/tex] kan så vidt jeg ser bare forkortes til [tex]${{2x\left( {{x^4} + 10{x^2} + 45} \right)} \over {5\left( {{x^2} + 3} \right)}}$[/tex] Jeg sjekket både integreringen og forkortingen i diverse programmer, og de får samme svaret som meg, så da får jeg prøve mennesker i stedet for datamaskiner, det kan jo ofte være bedre

Og fasiten har [tex]y=2x(x^2+3)[/tex] , men når de så skal finne løsningskurven for denne ligningen som går gjennom punktet får de y[sub]0[/sub]=[tex]2x(x^2+3)+(x^2+3)[/tex], noe jeg synes ser litt mistenkelig ut ut i fra det uttrykket de hadde for u, men det får jeg jo heller ikke fra mitt svar, så ser du/dere noe feil her et sted?

[Vektormannen]

Det la jeg ikke merke til at du hadde prøvd på, men når du sier det så er det helt riktig! Venstresiden er den deriverte av produktet [tex](x^2+3)y[/tex], så da er det som du sier bare til å integrere med én gang.

[mstud]

Å, jeg endret visst det forrige innlegget mitt i stedet for å legge inn et nytt, husker ikke hva det sto i det forrige som var der, men det er kanskje like greit... for jeg tror ikke det sto så mye klokt i det

For nå å se det siste jeg nå skrev må en altså lese oppenfor Vektormannens siste innlegg,


(Jeg skulle egentlig trykke på siter på mitt eget innlegg slik at jeg kunne slippe å skrive hele uttrykket på nytt, men jeg må ha trykket på endre i stedenfor, )

[Vektormannen]

Jeg var nok litt for kjapp på avtrekkeren der, den deriverte av [tex](x^2 + 3)y[/tex] er jo [tex]2x y + (x^2 + 3)y^\prime[/tex]. (Merk: pluss, ikke minus, mellom leddene.) Så da går nok ikke dette likevel, dessverre. Men det var godt observert likevel, ofte kan slikt, slik som her om det hadde stått + mellom leddene, spart en for mye arbeid. edit: håper ikke du har vridd hodet ditt halvveis av over denne oppgaven ... Beklager.

[mstud]

Ja, ser det nå.

Og i tillegg gjorde jeg da feil når jeg skulle finne integrerende faktor (tok ikke hensyn til minustegnet), dermed må jeg begynne nesten helt på nytt, den integrerende faktoren blir:

Ut i fra uttrykket [tex]y^{\prime}+(-\frac {2x}{x^2+3})=2(x^2+3)[/tex]: [tex]e^{-\int \frac {2x}{x^2+3}} \ =e^{-ln {(x^2+3)} \ =\frac 1{e^{-ln {(x^2+3)}}}=\frac 1{x^2+3}[/tex] Stemmer det?