Punkter i planet - Omegn (neighborhood)

[Tarzan]

Er det noen som kan gi en god forklaring på hva en omegn av et punkt P i R^n er?

[Karl_Erik]

Definisjonen på en omegn om P er en åpen mengde (vet du hva en åpen mengde er?) som inneholder P. Ofte snakker en gjerne om små omegner, så du kan tenke på en omegn som en liten mengde av punkter som ligger ganske nær P.

[Charlatan]

Kan godt være forskjellige definisjoner av omegn der ute, men jeg tror den vanlige er: et omegn av P er en mengde som inneholder en åpen mengde av P. Da er alle åpne mengder som inneholder P også omegn av P, men også ikke-åpne mengder kan være omegn, så lenge de inneholder et eller annet åpet omegn.

Ekvivalent kan vi si at en mengde V er et omegn av P dersom P ligger i innholdet (interior) av V. Innholdet til en mengde er definert som unionen av alle åpne mengder inneholdt i V.

[Karl_Erik]

Beklager, du har rett - definisjonen på en omegn i følge Wikipedia og forøvrig også topologiboka jeg ser i er en mengde som inneholder en åpen mengde som inneholder P. Beklager eventuell forvirring!

[Markonan]

Tror ikke trådstarteren var ute etter en formel definisjon, men heller en forklaring av begrepet. Forsøk følger:

Tenk på et lite tall som du kaller [tex]\varepsilon[/tex].

I [tex]\mathbb{R}[/tex] kan du tenke på punktet [tex]x[/tex] på tallinjen, og det åpne intervallet:
[tex]\big(x-\varepsilon,\;x+\varepsilon\big)[/tex]
Da har du et lite intervall rundt [tex]x[/tex], som da kalles omegnen til [tex]x[/tex]. På engelsk sier de neighbourhood.

I [tex]\mathbb{R}^2[/tex] tar du punktet [tex]x[/tex] i planet, og da er omegnen sirkelen med sentrum i [tex]x[/tex] og radius [tex]\varepsilon[/tex].

I [tex]\mathbb{R}^3[/tex] og videre opp i n dimensjoner snakker man om åpne baller/kuler med radius [tex]\varepsilon[/tex].

Noen kan kanskje forklare litt mer hvis du forteller i hvilken sammenheng du har kommet over det.