Diff likning

[ambitiousnoob]

Hei!

Jeg har en oppgave her som jeg er litt i stuss hvordan skal løses:

Lysintensiteten [tex]L[/tex] avtar med dybden [tex]x[/tex] i vann. Variasjonen i intensitet [tex]L(x)[/tex] er bestemt ved differensiallikningen

[tex]L`(x)=-kL[/tex]

Når vi har dykket 8 meter, har intensiteten sunket til det halve. Når intensiteten har sunket til 10%, er det ikke lenger forsvarlig for en dykker å utføre arbeid uten bruke kunstig lys.

Hvor dypt kan man dykke uten å måtte bruke kunstig belysning for å arbeide?


Jeg har satt:

[tex]\frac{dL}{dx}=-kx[/tex]

[tex]\int{\frac{dL}{dx}}=\int{-kx}[/tex]

[tex]lnL=-kx+C[/tex]

[tex]L=e^{-kx+C}=e^{-kx}*e^{C}[/tex]

Men litt usikker på hvordan jeg fortsetter her for å finne grensen for hvor dypt man kan dykke

Noen som har noen gode innspill?:)

[Nebuchadnezzar]

først kan du vel bruke at

[tex]L(0)=1[/tex] for å finne [tex]C[/tex]

[tex]L(8)=\frac{1}{2}[/tex] for å finne [tex]k[/tex]

Også bruke at

[tex]L(x)=\frac{1}{10}[/tex] for å finne [tex]x[/tex].

EDIT:

Skal den forsvarlige dybden bli ca 26.6 meter?

[ambitiousnoob]

Takk for tilbakemeldingen!:) Er ikke helt sikker på om jeg skjønte den, men gjør et forsøk, så må jeg kanskje spørre litt til:)

[mstud]

Hei!

Jeg har en oppgave her som jeg er litt i stuss hvordan skal løses:

Lysintensiteten [tex]L[/tex] avtar med dybden [tex]x[/tex] i vann. Variasjonen i intensitet [tex]L(x)[/tex] er bestemt ved differensiallikningen

[tex]L`(x)=-kL[/tex]

Når vi har dykket 8 meter, har intensiteten sunket til det halve. Når intensiteten har sunket til 10%, er det ikke lenger forsvarlig for en dykker å utføre arbeid uten bruke kunstig lys.

Hvor dypt kan man dykke uten å måtte bruke kunstig belysning for å arbeide?


Jeg har satt:

[tex]\frac{dL}{dx}=-kx[/tex]

[tex]\int{\frac{dL}{dx}}=\int{-kx}[/tex]

[tex]lnL=-kx+C[/tex]

[tex]L=e^{-kx+C}=e^{-kx}*e^{C}[/tex]

Men litt usikker på hvordan jeg fortsetter her for å finne grensen for hvor dypt man kan dykke

Noen som har noen gode innspill?:)

Det er litt feil det du har skrevet i den øverste linjen når du løser diff ligningen, selv om du kommer fram til riktig svar. Hvis det var slik du skrev, ville det vært feil, f.eks er ikke [tex]\int -kx \ dx=-kx+C[/tex], men [tex]\int -k \ dx=-kx+C[/tex]. Jeg kan godt vise hvordan du egentlig burde skrevet, for jeg tror ikke det ville vært så bra for resultatet å skrive det slik du skrev på en eksamen... Men jeg tror allikevel svaret ditt er det du skulle hatt på den diff ligningen, og så sette inn slik Nebuchadnezzar skrev for å finne svaret.

[ambitiousnoob]

Jeg har ikke fasitsvaret på denne oppgaven da det er en innsendingsoppgave.. Hvordan ville du stilt det opp til å begynne med?

[Nebuchadnezzar]

L(0)=1

Med dette antar vi at lysintensiteten ved overflaten er 1. Det er litt logisk, utifra oppgaven. MEn egentlig antar vi bare dette

L(8)=1/2

I oppgaven står det at lysintensiteten ved 8 meter er halvert. Siden lysmengden ved overflaten er en. Er halvparten av 1 åpenbart 1/2

L(x)=1/10

10% = en tiendedel. En tiendedel av en er åpenbart 1/10. Oppgaven spurte for hvilke x-verdi er lysmengden 1/10. så etter vi har funnet C og K, bare løser vi likningen over for x.

EDIT: Begynnelsen ville jeg har ført noe slikt som dette


[tex] L^{\tiny\prime}\left( x \right) = - kL\left( x \right) [/tex]

[tex] \frac{1}{{L\left( x \right)}}\frac{{dL}}{{dx}} = - k [/tex]

[tex] \int {\frac{1}{{L\left( x \right)}}dL} = - \int {k{\rm{ }}dx} [/tex]

[tex] \ln \left| {L\left( x \right)} \right| = - kx + C [/tex]

[ambitiousnoob]

Takker igjen, må da klare å få dette til nå:) Vet du/dere om noe bra litteratur rundt dette stoffet på nettet? Khanacademy følte jeg kanskje kom litt til kort der, og boken min er også kortfattet (i hvert fall for at jeg skal forstå det fullt ut)

[mstud]

Selv ville jeg ha skrevet omtrent slik:

[tex]L^, (x)=-kL[/tex] Deler begge sider på L, og skriver L' på differensialform, integrerer så begge sider med hensyn på x (legg merke til omskrivningen):


[tex]L^, (x)=-kL \\ \frac 1{L} \cdot \frac {dL}{dx}=-k \\ \int \frac 1{L} \cdot \frac {dL}{\cancel{dx}} \cancel{dx}=-\int k \ dx \\ \int \frac {dL}{L}=-kx+C_1 \\ ln L=-kx+C_1 \\ L=e^{-kx+C_1}=e^{-kx} \cdot e^{C_1}=e^{-kx} \cdot C = Ce^{-kx}[/tex]

Slutten her er helt lik din bortsett fra at jeg skrev [tex]C_1[/tex] der hvor du skrev C, fordi da kan man kalle [tex]e^{C_1}[/tex] (den siste konstanten) for C, e opphøyd i en konstant er konstant f.eks. [tex]e^2 \approx 7,389[/tex] er alltid ca. 7,389 og dermed konstant.

[mstud]

Takker igjen, må da klare å få dette til nå:) Vet du/dere om noe bra litteratur rundt dette stoffet på nettet? Khanacademy følte jeg kanskje kom litt til kort der, og boken min er også kortfattet (i hvert fall for at jeg skal forstå det fullt ut)

På nettet er f.eks. disse ganske bra, og kan også lastes ned : http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/DE.aspx

Ellers vil jeg anbefale denne boken: http://www.dummies.com/store/product/Di ... 78140.html , men det ser dessverre ut for at den må kjøpes eller eventuelt trylles fram ...

[ambitiousnoob]

Tror jaggu jeg klarte å trylle den fram, må være siden det er Fredag!;) Takk skal du ha for tipsene!

Kan jeg spørre om å vise resten av denne aktuelle oppgaven? Står litt fast her

[Nebuchadnezzar]

Kan du skrive hva du har prøvd?

Setter du opp likningen

L(0)=1

Finner du ganske raskt ut hva C er osv...

[ambitiousnoob]

Vil det si at jeg skal sette:

[tex]1=Ce^{-kx}[/tex]

?

Ser ikke helt hva jeg skal sette inn for -k f eks?

[mstud]

Lettere å trylle på fredager?

Resten av oppgaven blir:

Når L(0)=1, har vi at: [tex]L(0)=C*e^{-k \cdot 0}=C*e^0=C=1[/tex].

Dermed har vi hva C er, og da er uttrykket foreløpig: [tex] 1* e^{-kx}=e^{-kx}[/tex].

SÅ skal vi finne k, og bruker at [tex]L(8)=\frac 12[/tex], for å finne k må du da løse ligningen [tex]e^{-8k}=\frac 12[/tex].

Til slutt setter du da inn verdien av k fra forrige trinn i [tex]L(x)=e^{-kx}=\frac 1{10}[/tex] og når du har et tall for k kan du finne x.

[mstud]

DU trenger mao ikke sette inn noe for -k i første omgang fordi når x=0 får du -k*0, og noe ganget med 0 blir jo bare 0

edit: Beklager skrev t istedenfor x, fordi jeg selv holder på med en diffligning med t i istedenfor x . Nå er det retta

[ambitiousnoob]

Takker igjen for hjelpen!:)

Hvis du/dere skulle sagt "for å klare å skaffe en bedre forståelse for dette, bør du jobbe mer med...." hva ville det stått der da, hvis det var forståelig?:)