Ulikheten skal være alltid positiv

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Post Reply
Razzy
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 819
Joined: 20/09-2010 14:23
Location: Bergen

Denne ulikheten skal alltid være positiv, men når jeg begynner med matte magien min, så er jeg ikke helt enig i det... :roll:

[tex]$$ - 1 \prec 4{x^2}$$[/tex]

[tex]$$ - {1 \over 4} \prec {x^2}$$[/tex]

[tex]$${1 \over 4} \prec - {x^2}$$[/tex]

[tex]$$ - \sqrt {{1 \over 4}} \succ x$$[/tex]

Har en følelse at jeg skal slutte å tenke som David Cooperfield, og heller begynne å støtte meg til regler :shock:
Bygg.ing @ Hib - 2 året.
Top
mstud
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 825
Joined: 14/02-2011 15:08
Location: Matteboken (adresse kun gyldig i semesteret) :)

Razzy wrote:Denne ulikheten skal alltid være positiv, men når jeg begynner med matte magien min, så er jeg ikke helt enig i det... :roll:

[tex]$$ - 1 \prec 4{x^2}$$[/tex]

[tex]$$ - {1 \over 4} \prec {x^2}$$[/tex]

[tex]$${1 \over 4} \prec - {x^2}$$[/tex]

[tex]$$ - \sqrt {{1 \over 4}} \succ x$$[/tex]

Har en følelse at jeg skal slutte å tenke som David Cooperfield, og heller begynne å støtte meg til regler :shock:
Hmm... det ser jo nesten ut som den kan være begge deler ut fra løsningen din, det jeg ser umiddelbart er, husk at [tex]x^2=u[/tex] har to løsninger: [tex]x^2=\pm \sqrt u[/tex] Det forandrer vel saken litt...
Det er bedre å stille et spørsmål og ikke få et svar, enn å ikke stille et spørsmål og ikke få et svar.

Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.
Top
mstud
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 825
Joined: 14/02-2011 15:08
Location: Matteboken (adresse kun gyldig i semesteret) :)

Hvor har du det fra at den skal alttid være positiv? :wink:

Microsoft Mathematics sier [tex]x \in R [/tex] altså alle reelle tall når jeg skrev inn den ligningen... :)

Og wxMaxima sier: "true for all x"

edit: maxima er enig med Microsoft...
Last edited by mstud on 06/04-2011 12:08, edited 1 time in total.
Det er bedre å stille et spørsmål og ikke få et svar, enn å ikke stille et spørsmål og ikke få et svar.

Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.
Top
mstud
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 825
Joined: 14/02-2011 15:08
Location: Matteboken (adresse kun gyldig i semesteret) :)

Her er mattemagien min :P :

[tex] -1 < 4x^2 \\ -\frac 14 < x^2 \\ - \pm \sqrt {\frac 14 } <x \\ x> \pm \frac 12 [/tex] Hmm ... , det var et rart svar. :lol:
Det er bedre å stille et spørsmål og ikke få et svar, enn å ikke stille et spørsmål og ikke få et svar.

Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.
Top
Razzy
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 819
Joined: 20/09-2010 14:23
Location: Bergen

mstud wrote:Hvor har du det fra at den skal alttid være positiv? :wink:

Microsoft Mathematics sier [tex]x \in R [/tex] altså alle reelle tall når jeg skrev inn den ligningen... :)
Ligningen så opprinnelig slik ut: [tex]$$ - 1 \prec 4{x^2} \prec 1$$[/tex] (oppgaven handler om å bestemme for hvilke verdier av x en rekke konvergerer)

Dermed tenkte jeg som følgende:

[tex]$$4{x^2} \prec 1$$[/tex]

[tex]$${x^2} \prec {1 \over 4}$$[/tex]

[tex]$$x \prec \sqrt {{1 \over 4}} = x \prec {1 \over 2}$$[/tex]


Den andre delen blir:

[tex]$$ - 1 \prec 4{x^2}$$[/tex]

Men her stoppet læreren og sa "her ser vi at ligningen alltid blir positiv, så denne trenger vi ikke å regne ut (pga x er opphøyd i andrepotens)"
Bygg.ing @ Hib - 2 året.
Top
mstud
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 825
Joined: 14/02-2011 15:08
Location: Matteboken (adresse kun gyldig i semesteret) :)

Godt mulig det kommer av at vi har:

Det var merkelig sagt, men kanskje det er mulig læreren mener dobbeltulikheten gjelder for alle x ?? ...

Hvilket område kan x ligge i når vi har [tex]x< \frac 12 [/tex] og [tex]x> -\frac 12[/tex] ...

svar : (når x skal være større enn -1/2 , slik jeg fikk og mindre enn 1/2, alle verdier av x)

Dessuten, når x>-1/2 slik jeg fikk ut av ligningen din er x i hvert fall stort sett positiv...

Hva tror du?
Det er bedre å stille et spørsmål og ikke få et svar, enn å ikke stille et spørsmål og ikke få et svar.

Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.
Top
Razzy
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 819
Joined: 20/09-2010 14:23
Location: Bergen

Razzy wrote:Denne ulikheten skal alltid være positiv, men når jeg begynner med matte magien min, så er jeg ikke helt enig i det... :roll:

[tex]$$ - 1 \prec 4{x^2}$$[/tex]

[tex]$$ - {1 \over 4} \prec {x^2}$$[/tex]

[tex]$${1 \over 4} \prec - {x^2}$$[/tex]

[tex]$$ - \sqrt {{1 \over 4}} \succ x$$[/tex]
[tex]$$ - 1 \prec 4{x^2}$$[/tex]

[tex]$$ - {1 \over 4} \prec {x^2}$$[/tex]

Herfra får vi to valgmuligheter:

[tex]Nr 1: \sqrt { - {1 \over 4}} \prec \sqrt {{x^2}} [/tex] (Blindvei!) eller vi kan; [tex] Nr 2: {1 \over 4} \succ - {x^2} [/tex]

[tex]Nr 2: \sqrt {{1 \over 4}} \succ \sqrt { - {x^2}} [/tex] (Blindvei!)
Bygg.ing @ Hib - 2 året.
Top
Vektormannen
Euler
Euler
Posts: 5889
Joined: 26/09-2007 19:35
Location: Trondheim
Contact:
Contact Vektormannen

Det er ikke noe poeng i å prøve å løse [tex]4x^2 > -1[/tex]. Når du opphøyer noe i andre så må det bli positivt. Kan du tenke deg en forklaring på hvorfor?

Med andre ord, ulikheten [tex]4x^2 > - 1[/tex] uttrykker at [tex]4x^2[/tex] er større enn -1. For hvilke x gjelder det? Jo, det må være alle x, siden uansett hva du opphøyer i andre, får du noe som er positivt (og altså større enn -1).

Den andre ulikheten kan du løse på vanlig måte, dvs. å flytte over, faktorisere og lage et fortegnsskjema.
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Top
mstud
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 825
Joined: 14/02-2011 15:08
Location: Matteboken (adresse kun gyldig i semesteret) :)

Vektormannen , du var den rette mannen til å komme hit nå, for også denne gang ser jeg at når jeg gjør slik jeg pleier (vet det ikke er lov) :oops: så er det da jeg får det rette svaret, se her: http://www.wolframalpha.com/input/?i=-1 ... 1&t=ietb01

Min "løsning", hvorfor gir den rett svar når fremgangsmåten er feil? :

[tex]-1<4x^2<1 \\ -\frac 14 < x^2 < \frac 14 \\ -\sqrt {\frac 14}<x^2 < \sqrt{\frac 14} \\ -\frac 12 <x < \frac 12[/tex]

Har dette med å gjøre at i x^2 kan x være enten positiv eller negativ?

For å bare løse siste ulikheten gir i hvert fall meg (v. regning uten ligningen og fortegnslinje ) : [tex]x^2< \frac 14 \\ x< \pm \frac 12[/tex] altså x< begge, og ingen antydning til at man må skifte fortegn der ut fra det algebraiske...

HAr du noen synspunkter på det?
Last edited by mstud on 06/04-2011 13:15, edited 3 times in total.
Det er bedre å stille et spørsmål og ikke få et svar, enn å ikke stille et spørsmål og ikke få et svar.

Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.
Top
Razzy
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 819
Joined: 20/09-2010 14:23
Location: Bergen

Vektormannen wrote:Det er ikke noe poeng i å prøve å løse [tex]4x^2 > -1[/tex]. Når du opphøyer noe i andre så må det bli positivt. Kan du tenke deg en forklaring på hvorfor?

Med andre ord, ulikheten [tex]4x^2 > - 1[/tex] uttrykker at [tex]4x^2[/tex] er større enn -1. For hvilke x gjelder det? Jo, det må være alle x, siden uansett hva du opphøyer i andre, får du noe som er positivt (og altså større enn -1).

Den andre ulikheten kan du løse på vanlig måte, dvs. å flytte over, faktorisere og lage et fortegnsskjema.
Ok, takk for oppklaringen! :)
Vektormannen wrote:Når du opphøyer noe i andre så må det bli positivt. Kan du tenke deg en forklaring på hvorfor?
nok et tilfelle av: "sånn er det bare" :roll:
Bygg.ing @ Hib - 2 året.
Top
Vektormannen
Euler
Euler
Posts: 5889
Joined: 26/09-2007 19:35
Location: Trondheim
Contact:
Contact Vektormannen

Tenk deg at du har lyst å prøve å finne et tall som er slik at når du opphøyer det i andre så blir resultatet negativt. Husk at å opphøye i andre er det samme som å gange tallet med seg selv. Uansett hvilket tall du prøver (utenom 0 da) vil enten være negativt eller positivt. Hvis tallet er positivt får du også noe positivt når du opphøyer i andre. Hvis tallet er negativt får du produktet av to negative tall når du opphøyer i andre. Men det blir jo også positivt.
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Top
mstud
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 825
Joined: 14/02-2011 15:08
Location: Matteboken (adresse kun gyldig i semesteret) :)

Hm... hvorfor blir alt jeg skriver blanke innlegg nå?
(Beklager, selv om det ikke var min feil at de ble det)


Prøvde å spørre hvorfor dette gir rett svar (iflg. svaret WolframAlpha gir):

[tex]-1<4x^2<1[/tex] [tex] -\frac 14 < x^2 < \frac 14 [/tex] [tex] - \sqrt {\frac 14} < \sqrt{\frac 14} [/tex] [tex]-\frac 12 < x <\frac 12[/tex]

Mens, så vidt jeg kan se [tex]x^2<1[/tex] gir (algebraisk, uten fortegnslinje) [tex]x< \pm \frac 12[/tex]
Det er bedre å stille et spørsmål og ikke få et svar, enn å ikke stille et spørsmål og ikke få et svar.

Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.
Top
Razzy
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 819
Joined: 20/09-2010 14:23
Location: Bergen

Vektormannen wrote:Tenk deg at du har lyst å prøve å finne et tall som er slik at når du opphøyer det i andre så blir resultatet negativt. Husk at å opphøye i andre er det samme som å gange tallet med seg selv. Uansett hvilket tall du prøver (utenom 0 da) vil enten være negativt eller positivt. Hvis tallet er positivt får du også noe positivt når du opphøyer i andre. Hvis tallet er negativt får du produktet av to negative tall når du opphøyer i andre. Men det blir jo også positivt.
Flott! Da skjønner jeg at prinsippet med å opphøye noe i andre (gange med seg selv), vil alltid ende positivt (for minus og minus gir pluss).
mstud wrote:Prøvde å spørre hvorfor dette gir rett svar (iflg. svaret WolframAlpha gir):

[tex]-1<4x^2<1[/tex] [tex] -\frac 14 < x^2 < \frac 14 [/tex] [tex] - \sqrt {\frac 14} < \sqrt{\frac 14} [/tex] [tex]-\frac 12 < x <\frac 12[/tex]

Mens, så vidt jeg kan se [tex]x^2<1[/tex] gir (algebraisk, uten fortegnslinje) [tex]x< \pm \frac 12[/tex]
Jeg ser fasiten (som jeg akkurat fant), har løst denne oppgaven på denne måten (også slik Vektormannen forslo med bruk av fortegnslinje)

[tex]$$4{x^2} \prec 1$$[/tex]

[tex]$$4{x^2} - 1 \prec 0$$[/tex]

[tex]$$\left( {2x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right) \prec 0$$[/tex]

Deretter satt dette inn i en fortegnslinje.

MEN, som mstud skrev: [tex]x^2<1[/tex] gir (algebraisk, uten fortegnslinje) [tex]x< \pm \frac 12[/tex] Kunne denne oppgaven vært løst uten fortegnslinje, ergo spart en halv side med ark! :D
Bygg.ing @ Hib - 2 året.
Top
Vektormannen
Euler
Euler
Posts: 5889
Joined: 26/09-2007 19:35
Location: Trondheim
Contact:
Contact Vektormannen

mstud wrote:Hm... hvorfor blir alt jeg skriver blanke innlegg nå?
(Beklager, selv om det ikke var min feil at de ble det)


Prøvde å spørre hvorfor dette gir rett svar (iflg. svaret WolframAlpha gir):

[tex]-1<4x^2<1[/tex] [tex] -\frac 14 < x^2 < \frac 14 [/tex] [tex] - \sqrt {\frac 14} < \sqrt{\frac 14} [/tex] [tex]-\frac 12 < x <\frac 12[/tex]

Mens, så vidt jeg kan se [tex]x^2<1[/tex] gir (algebraisk, uten fortegnslinje) [tex]x< \pm \frac 12[/tex]
Problemet kommer av at du antageligvis gjør noe slikt:

[tex]x^2 < \frac{1}{4}[/tex]

[tex]x < \pm \frac{1}{2}[/tex]

Dette går ikke. Kvadratroten av et tall er per definisjon kun positivt. I en ligning stemmer det at hvis [tex]x^2[/tex] er lik et eller annet tall [tex]a^2[/tex], så vil både [tex]x = -a[/tex] og [tex]x=a[/tex] være løsninger på ligningen. Men kvadratroten av [tex]a^2[/tex] er kun [tex]a[/tex].

Den korrekte måten å behandle denne ulikheten på algebraisk er å bruke at hvis [tex]x^2 < \frac{1}{4}[/tex] så må absoluttverdien av x være slik at [tex]|x| < \frac{1}{2}[/tex]. En annen måte å si det på er at [tex]-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}[/tex].
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Top
mstud
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 825
Joined: 14/02-2011 15:08
Location: Matteboken (adresse kun gyldig i semesteret) :)

Var det jeg lurte på ja, for x kan jo være enten positiv eller negativ, i x^2 det vet vi jo ikke, så dermed skal jeg bruke |x| , det var det jeg begynte å lure på i sted om var den rette metoden.

(Det har jeg imidlertid lurt på lenge før jeg visste hva absoluttverdi var

og fant derfor ut at det alltid ga rett svar å jukse med den siden der det ble kvadratroten av et negativt tall å skrive minusen utenfor, slik [tex]x^2=-\frac 14 \\ x=-\sqrt {\frac 14}[/tex] , selv om jeg visste at det egntlig var feil fordi kvadratrøtter var positive alltid ... )

Så, tusen takk Vektormannen nå slipper jeg å fortsette med slike merkelige ulovligheter for å få rett svar :wink:

Tusen takk igjen :D
Det er bedre å stille et spørsmål og ikke få et svar, enn å ikke stille et spørsmål og ikke få et svar.

Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.
Top
Post Reply

Return to “Videregående skole: VG1, VG2 og VG3”