første ordens lineær ligning skrives på formen
y'+p(x)y=0
for å løse den separerer vi dx og dy:
[tex]\frac{dy}{y}=-p(x)dx[/tex]
[tex]ln|y|=-\int p(x) dx + c*[/tex]
hvorfor skriver de absolutt. Hvis y er neg går ikke ligningen opp og da må vel svaret bli annerledes hvis man tara absoluttegn på venstre side?
[tex]y(x)=ce^{-\int p(x)dx} [/tex] hvor
[tex]c=\mp e^{c*} y \lessgtr 0[/tex] de har skrevet + eller minus her foran e men fra ganging av eksponentielle tall skjønner jeg ikke hvorfor det kan være minus? lessgtr skal bety at y kan være både mindre og større enn 0altså begge krokodilletegn både < og >. Fant ikke uttrykket i tex.
så skriver boken at c=0. Kan den ikke bare det når c* går mot minus uendelig? De skriver at de velger c=0. Skjønner ikke helt det. Burde kanskje sett noen eksempler på det før jeg spør men fant ingen i delkapittelet hvor c ble valgt til 0.
første ordens lineær homogen ligning
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
[tex]\int \frac{1}{x}dx=\ln|x| +C[/tex]. Man kan ikke ta logaritmen til negative tall, der er derfor man skriver det slik.
Man bruker ofte formelen [tex]\frac{d\ln(x)}{dx}=\frac{1}{x}[/tex], men det er under forutsetning av at x er positiv, ellers ville ikke logaritmen vært definert.
Videre får man at
[tex]|y|=e^{\ln|y|}=e^Ce^{-\int pdx}[/tex], noe som betyr at
[tex]y=\pm e^Ce^{-\int pdx}[/tex].
(Generelt har man for reelle tall (ikke komplekse) implikasjonene [tex]|w|=k\Leftrightarrow w=\pm k[/tex])
Konstanten C må beregnes utfra eventuelle startbetingelser gitt i oppgaven.
Man bruker ofte formelen [tex]\frac{d\ln(x)}{dx}=\frac{1}{x}[/tex], men det er under forutsetning av at x er positiv, ellers ville ikke logaritmen vært definert.
Videre får man at
[tex]|y|=e^{\ln|y|}=e^Ce^{-\int pdx}[/tex], noe som betyr at
[tex]y=\pm e^Ce^{-\int pdx}[/tex].
(Generelt har man for reelle tall (ikke komplekse) implikasjonene [tex]|w|=k\Leftrightarrow w=\pm k[/tex])
Konstanten C må beregnes utfra eventuelle startbetingelser gitt i oppgaven.