Logaritmelikning 1T

[Yoshiku]

Hvordan løser jeg:

4+3lg(x-5)=10

Jeg vet at man må ta lg på en side, og tall på den andre, men hvor skal (x-5)? Hører den til 3lg?

[Vektormannen]

Det stemmer. Alt som står i parentes bak lg er argumentet til lg-funksjonen (et argument er det tallet en funksjon tar inn, f.eks. er x argumentet til funksjonen y = 2x - 5.)

Vanligvis står det kanskje f.eks. lg 5. Dette er da logaritmen av 5. 5 er da argument til logaritmefunksjonen. På samme måten er det tallet (x-5) (merk deg parentesen som sier at dette er å regne som ett tall.) argumentet til lg-funksjonen her.

Så ja, (x-5) hører til lg, så du kan ikke f.eks dele på x-5. Men du kan jo som du sier få alt som hører til lg alene på en side. Hva får du da?

[Yoshiku]

Blir det 3lg (x-5) =10-4
3lg (x-5)=6

Må jeg dele 3 på 6? Slik at det blir lg(x-5)=2?

[Vektormannen]

Det stemmer!

Så må du tenke på hva logaritmer betyr. lg x er det tallet du må opphøye 10 i for å få x. Så her står det at det tallet du må opphøye 10 i for å få (x-5) er lik 2. Hvilket tall må (x-5) være da?

[Yoshiku]

(x-5)=10^2
x=100+5
x=105

Er det riktig?


Og jeg lurer på en til

2x/x-5 -1 = x/x^2-25 (brøk)

Jeg tror FN = x^2-25 (må man finne FN når det er likning egentlig?)

Blir det 2x*(x+5)/(x-5)(x+5) - (x-5)(x+5)/(x-5)(x+5) = x/x^2-25 ?

[Vektormannen]

Rikgit svar ja Det er jo bare å sette prøve så ser du det: [tex]4 + 3 \lg (105 - 5) = 4 + 3 \lg 100 = 4 + 3 \cdot 2 = 10[/tex], så det stemte.

Angående neste oppgave: Ja, det er riktig fellesnevner, og utvidelsen av brøkene ser helt riktig ut.

Men som du sier trenger du ikke å finne fellesnevner i en slik oppgave. Du kan fint "prøve deg frem" ved å gange med nevnerene til hver brøk, én om gangen, til du har blitt kvitt alle nevnerne. Dette blir jo det samme som å gange med hele fellesnevneren på én gang.

[Yoshiku]

Det skjønte jeg ikke helt, egentlig...

[Vektormannen]

Ok, du har ligningen [tex]\frac{2x}{x-5} - 1 = \frac{x}{x^2 - 25}[/tex]. For å løse slike ligninger er det lurt å bli "kvitt" nevnerne. Det kan man gjøre ved å gange med dem på begge sider av ligningen:

[tex]\frac{2x}{x-5} \cdot (x-5) - 1 \cdot (x-5) = \frac{x}{(x-5)(x+5)} \cdot (x-5)[/tex]

Nå kan man forkorte:

[tex]2x - (x-5) = \frac{x}{x+5}[/tex]

Så kan man gange med x+5 på begge sider:

[tex]2x(x+5) - (x-5)(x+5) = \frac{x}{x+5} \cdot (x+5)[/tex]

[tex]2x(x+5) - (x-5)(x+5) = x[/tex]

Da har man en ligning som er forholdsvis enkel å forholde seg til. Man kunne også ha ganget direkte med fellesnevneren (x-5)(x+5) og gjort dette i én omgang.

Denne ligningen blir akkurat den samme som du får om du fortsetter slik du har gjort og setter at tellerne i brøkene skal være like på hver side.

[Yoshiku]

Åjaa, så når det er likning bør man kvitte seg med nevnerne, mens når det er regnestykke må man finne FN. Alltid?

Og jeg fikk
x= (-7,5). Det må jo være feil..

[Vektormannen]

Ja, det stemmer ikke. Ligningen har faktisk ingen løsninger. Hvordan gikk du frem for å få x = -7.5?

Når det gjelder fellesnevner så er det helt riktig. Når du skal trekke sammen et uttrykk med brøker må alle brøkene ha samme nevner. Når du skal løse en brøkligning kan du like greit kvitte deg med brøkene ved å gange med fellesnevneren på begge sider. Merk deg at resultatet blir akkurat det samme uansett hvordan du gjør det:

[tex]\frac{2x(x+5)}{(x-5)(x+5)} - \frac{(x-5)(x+5)}{(x-5)(x+5)} = \frac{x}{(x-5)(x+5)}[/tex]

[tex]\frac{2x(x+5) - (x-5)(x+5)}{x^2-25} = \frac{x}{x^2-25}[/tex]

Merk deg at hvis brøkene skal være like så må tellerne være like. Men da får man nøyaktig den samme ligningen som i sted!

[Yoshiku]

Jeg løste opp parantesene og da fikk jeg 2x*x+5-x+5*x+5=x
Også fikk jeg 2x=-5-5-5
x= (-7,5)


Hvordan kan den ikke ha noen løsning? Hva er svaret da (...) ?

[Vektormannen]

Husk at [tex](x-5)(x+5) = x^2 - 25[/tex].

Så det blir:

[tex]2x^2 + 10x - (x^2 - 25) = x[/tex]

[tex]2x^2 + 10x - x^2 + 25 = x[/tex]

[tex]x^2 + 9x + 25 = 0[/tex]

Dette er en annengradsligning som ikke har noen løsning.

[Yoshiku]

Hvorfor x^2 og 9x?

[Vektormannen]

[tex]2x^2[/tex] kommer fra å gange ut [tex]2x(x+5)[/tex], og så kommer det en [tex]x^2[/tex] med negativt fortegn fra å gange ut -(x-5)(x+5). Trekker man disse sammen får man [tex]x^2[/tex]. 9x kommer fra å trekke sammen alle x-ene på én side.

[Yoshiku]

Så 2x^2 - x^2 = x^2 Men hvilke andre x-er (9x)? Er ikke x^2 og 10x de eneste x-ene?