Hermitiske og unitære matriser

[espen180]

(La $A^{†}$ stå for $A$s komplekskonjugerte transponerte.)

La $H$ være en hermitisk matrise $(H^{†}=H)$. Vis at

$U=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(iH{)}^n}{n!}=I+iH-\frac{H^2}{2}-\frac{i{H}^3}{6}+...$

er en unitær matrise $(U^{†}U=I)$.

Edit: Fikset feilen påpekt av ClaudeShannon.

[drgz]

Skal grensen egentlig gå fra n = 0? Virker sånn ut i fra de første leddene av summen (som du har skrevet ut).

[espen180]

Ja, det stemmer selvfølgelig. Takk for at du påpekte det!

[Karl_Erik]

Vi vet at Hermitiske matriser er (unitært) diagonaliserbare. Altså kan vi skrive $H=VD{V}^{-1}$ med $D$ en diagonalmatrise og $V$ en unitær matrise. Altså får vi $V^{-1}UV=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(iD{)}^n}{n!}={\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(i{d}_j{)}^n}{n}\right)}_{j,j}$ der jeg med den siste notasjonen mener diagonalmatrisen med diagonalelementer lik det inni parentesen, der $d_j$ er elementene på diagonalen til $D$. Siden summen inne i parentesen da er lik $e^{i{d}_j}$ har vi videre $V^{-1}UV=e^{iD}$ der jeg med denne notasjonen (som jeg lover vil bli den siste jeg finner på akkurat nå) mener diagonalmatrisen hvis diagonalelement j er lik $e^{i{d}_j}$, der $d_j$ er det tilsvarende diagonalelementet i D. Definisjonen kan også gjøres for ikke-diagonale matriser, og vi har da klart ${\left(e^{iA}\right)}^{†}=e^{-iA}$, og $e^{iA}{e}^{iB}=e^{i(A+B)}$ for alle matriser $A,B$. Vi får altså $U=V{e}^{iD}{V}^{-1}$, og konjugattransponerer vi får vi $U^{†}={V^{†}}^{-1}{e}^{-iD}{V}^{†}$. Ganger vi sammen disse uttrykkene får vi $U{U}^{†}=V{e}^{iD}{V}^{-1}{V^{†}}^{-1}{e}^{-iD}{V}^{†}=V{e}^{iD}{e}^{-iD}{V}^{†}=V{e}^{i(D-D)}{V}^{†}=VI{V}^{†}=I$ som ønsket.

Vi merker oss forøvrig også at den teoretiske biten av dette går bra - potensrekken for $e^z$ konvergerer overalt, så summene våre konvergerer og for den opplagte definisjonen av matrisesummen gjør også denne det og vi er ferdige.

[espen180]

Flott!

[TrulsBR]

For å være i overkant pirkete.:

$V{e}^{iD}{e}^{-iD}{V}^{†}=V{e}^{i(D-D)}{V}^{†}$

Dette holder fordi $D$ kommuterer med seg selv, men er ikke sant generelt, så det kan være greit å presisere.

[Aleks855]

Haha, jeg digger å gå fra å hjelpe folk med derivasjon i ungdomsskole/vgs-områdene, til å bli fullstendig forvirret i denne delen

[Karl_Erik]

For å være i overkant pirkete.:

$V{e}^{iD}{e}^{-iD}{V}^{†}=V{e}^{i(D-D)}{V}^{†}$

Dette holder fordi $D$ kommuterer med seg selv, men er ikke sant generelt, så det kan være greit å presisere.

Oi, du har helt rett - jeg så bare tilfellet der D er en diagonalmatrise og derfor ganske grei for meg i hodet mitt og skrev det ned, men som du sier gjelder det ikke generelt. Fint du presiserer!