Jeg har en oppgave som lyder som følgende:
Vi ser på en produsent som produserer og selger x enheter av en vare til p=p(x) per enhet og med kostnadene K=K(x). Bestem profitten i hver av sitiasjonene a) og b). Bestem ihvert tilfelle vinningsoptimum i x[sub]0[/sub] og tilhørende salgsinntekt, totale kostnader og maksimal profitt.
a) p=2500-0,25x K=1.000.000+500x
b) p=700-3x K=10.000+100x+x[sup]2[/sup]
Det som er problemet er at jeg ikke får til å sette disse sammen til en profitt-funksjon. Og jeg får ikke til å derivere p og K. For meg gir ikke dette noe sammenheng. Kan noen forklare meg hva jeg må gjøre?
I følge fasiten skal a) bli: [pi][/pi](x)= -,25x[sup]2[/sup]+2000x-1.000.000 og b) [pi][/pi](x)=-4x[sup]2[/sup]+600x-10.000
Men uansett hva jeg gjør så får jeg ikke dette til å stemme... Er det meg eller er det(som jeg håper) feil i fasiten?
Jens Chr.
Optimering av økonomisk teori.
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Profittfunksjonen p(x) angir profitten per enhet når x enheter selges. Så inntekten av salget av x enheter blir x*p(x). Kostnadfunksjonen K(x) angir kostnaden ved å produsere disse x enhetene. Formelen profitt=inntekt - kostnad gir at profittfunksjonen blir
[pi][/pi](x) = x*p(x) - K(x).
[pi][/pi](x) = x*p(x) - K(x).
-
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
a) p(x)=2500 - 0,25x og K(x)=1.000.000 + 500x gir
π(x) = x*p(x) - K(x) = x(2500 - 0,25x) - (1.000.000 + 500x) = 2500x - 0,25x[sup]2[/sup] - 1.000.000 - 500x = -0,25x[sup]2[/sup] + 2000x - 1.000.000.
For å finne maksimal profitt, derivere vi [pi][/pi](x) og får
[pi][/pi]´(x) = -0,5x + 2000 = 0,5(4000 - x).
Så [pi][/pi]´(x)=0 når x=4000, hvilket innebærer at [pi][/pi](x) er maksimal for x=4000. For 4000 produserte enheter blir salgsinntekten
4000*p(4000) = 4000*(2500 - 0,25*4000) = 4000*(2500-1000) = 4000*1500 = 6.000.000 (kr)
og de totale kostnader
K(4000) = 1.000.000 + 500*4000 = 1.000.000 + 2.000.000 = 3.000.000 (kr).
M.a.o. blir den maksimale profitten
[pi][/pi](4000) = 6.000.000 - 3.000.000 = 3.000.000 (kr).
π(x) = x*p(x) - K(x) = x(2500 - 0,25x) - (1.000.000 + 500x) = 2500x - 0,25x[sup]2[/sup] - 1.000.000 - 500x = -0,25x[sup]2[/sup] + 2000x - 1.000.000.
For å finne maksimal profitt, derivere vi [pi][/pi](x) og får
[pi][/pi]´(x) = -0,5x + 2000 = 0,5(4000 - x).
Så [pi][/pi]´(x)=0 når x=4000, hvilket innebærer at [pi][/pi](x) er maksimal for x=4000. For 4000 produserte enheter blir salgsinntekten
4000*p(4000) = 4000*(2500 - 0,25*4000) = 4000*(2500-1000) = 4000*1500 = 6.000.000 (kr)
og de totale kostnader
K(4000) = 1.000.000 + 500*4000 = 1.000.000 + 2.000.000 = 3.000.000 (kr).
M.a.o. blir den maksimale profitten
[pi][/pi](4000) = 6.000.000 - 3.000.000 = 3.000.000 (kr).
jeg trodde man skulle derivere p(x) og K(x) og vinningsoptimum x[sub]0[/sub] var der p´(x)=K´(x) stemmer ikke dette?
-
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Inntektsfunksjonen I(x)=x*p(x) gir [pi][/pi](x) = I(x) - K(x) som igjen medfører at [pi][/pi]´(x) = I´(x) - K´(x) . Ergo blir [pi][/pi]´(x)=0 når I´(x)=K´(x).
For at formelen du angir for løsning av optimeringsproblemet (p´(x)=K´(x)), må altså p(x) være den totale inntekten ved salg av x enheter, ikke (som i dette tilfellet) inntekten per enhet.
For at formelen du angir for løsning av optimeringsproblemet (p´(x)=K´(x)), må altså p(x) være den totale inntekten ved salg av x enheter, ikke (som i dette tilfellet) inntekten per enhet.
D fant jeg ut, men hvis jeg skal gjenta det jeg gjorde med p=b-ax, K=K[sub]0[/sub]+kx
Jeg har funnet ut at det blir [pi][/pi](x)=-ax[sup]2[/sup]+(b-k)x-K[sub]0[/sub]
Men så skal jeg bevise at Vinningsoptimum x[sub]0[/sub] er (b-k)/2a og at salgsinntekt er (b[sup]2[/sup]-k[sup]2[/sup])/4a
Og de totale kostnader K[sub]0[/sub]+(k(b-k))/2a og at [pi][/pi](x[sub]0[/sub]=((b-k)[sup]2[/sup]-4aK[sub]0[/sub])/4a
Dette forstår jeg ikke...
Jeg har funnet ut at det blir [pi][/pi](x)=-ax[sup]2[/sup]+(b-k)x-K[sub]0[/sub]
Men så skal jeg bevise at Vinningsoptimum x[sub]0[/sub] er (b-k)/2a og at salgsinntekt er (b[sup]2[/sup]-k[sup]2[/sup])/4a
Og de totale kostnader K[sub]0[/sub]+(k(b-k))/2a og at [pi][/pi](x[sub]0[/sub]=((b-k)[sup]2[/sup]-4aK[sub]0[/sub])/4a
Dette forstår jeg ikke...
-
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Ved å derivere profittfunksjonen mhp. x, får vi at
π´(x)=-2ax[sup]2[/sup]+(b-k) = -2a[x - (b-k)/(2a)]
Så [pi][/pi] er maksimal for x=(b-k)/2a. M.a.o. er vinningsoptimum x[sub]0[/sub]=(b-k)/2a, som gir kostnaden
K(x[sub]0[/sub]) = K((b-k)/(2a)) = K[sub]0[/sub] + (k(b-k))/(2a)
og profitt
p(x[sub]0[/sub]) = p((b-k)/(2a)) = b - a(b-k)/(2a) = b - (b-k)/2 = (2b - b + k)/2 = (b+k)/2,
hvilket innebærer at salgsinntekten blir
x[sub]0[/sub]*p(x[sub]0[/sub])= (b-k)/(2a)*p((b-k)/(2a)) = [(b-k)/(2a)]* [(b+k)/2] = (b[sup]2[/sup] - k[sup]2[/sup])/(4a).
Dermed blir den maksimale profitten
x[sub]0[/sub]*p(x[sub]0[/sub]) - K(x[sub]0[/sub]) = (b[sup]2[/sup] - k[sup]2[/sup])/(4a) - K[sub]0[/sub] - (k(b-k))/(2a) = -K[sub]0 [/sub] + [b[sup]2[/sup] - k[sup]2[/sup] - 2k(b-k)]/(4a)
= -K[sub]0 [/sub] + (b[sup]2[/sup] - k[sup]2[/sup] - 2bk + 2k[sup]2[/sup])/(4a) = -K[sub]0 [/sub] + (b[sup]2[/sup] - 2bk + k[sup]2[/sup])/(4a) = -K[sub]0 [/sub] + (b - k)[sup]2[/sup]/(4a).
π´(x)=-2ax[sup]2[/sup]+(b-k) = -2a[x - (b-k)/(2a)]
Så [pi][/pi] er maksimal for x=(b-k)/2a. M.a.o. er vinningsoptimum x[sub]0[/sub]=(b-k)/2a, som gir kostnaden
K(x[sub]0[/sub]) = K((b-k)/(2a)) = K[sub]0[/sub] + (k(b-k))/(2a)
og profitt
p(x[sub]0[/sub]) = p((b-k)/(2a)) = b - a(b-k)/(2a) = b - (b-k)/2 = (2b - b + k)/2 = (b+k)/2,
hvilket innebærer at salgsinntekten blir
x[sub]0[/sub]*p(x[sub]0[/sub])= (b-k)/(2a)*p((b-k)/(2a)) = [(b-k)/(2a)]* [(b+k)/2] = (b[sup]2[/sup] - k[sup]2[/sup])/(4a).
Dermed blir den maksimale profitten
x[sub]0[/sub]*p(x[sub]0[/sub]) - K(x[sub]0[/sub]) = (b[sup]2[/sup] - k[sup]2[/sup])/(4a) - K[sub]0[/sub] - (k(b-k))/(2a) = -K[sub]0 [/sub] + [b[sup]2[/sup] - k[sup]2[/sup] - 2k(b-k)]/(4a)
= -K[sub]0 [/sub] + (b[sup]2[/sup] - k[sup]2[/sup] - 2bk + 2k[sup]2[/sup])/(4a) = -K[sub]0 [/sub] + (b[sup]2[/sup] - 2bk + k[sup]2[/sup])/(4a) = -K[sub]0 [/sub] + (b - k)[sup]2[/sup]/(4a).