Finne ubestemt integral

[ambitiousnoob]

Hei!

Jeg har oppgaven å finne det ubestemte integralet av:

[tex]\int{\frac{dx}{x^2-1}[/tex]

Jeg setter:

[tex]\int{\frac{dx}{(x+1)(x-1)}[/tex]

Men herfra blir jeg usikker hvordan man tar det videre...

Fasiten sier:

[tex]\frac{1}{2}ln|\frac{x-1}{x+1}|+C[/tex]

Noen som kunne forklart?:)

[Vektormannen]

Har du kjennskap til delbrøkoppspalting? Det er det som er brukt her. Hvis du ikke kan det / husker det så står det forklart i Nebuchadnezzars integraltråd øverst på forumet her. Edit: her

[Janhaa]

delbrøksoppspalting

[tex]\frac{1}{x^2-1}=\frac{A}{x-1}\,+\,\frac{B}{x+1}[/tex]

[ambitiousnoob]

Hei!

Disse oppgavene er i forbindelse med delbrøkoppspalting:) Men ble ikke helt klok på boken, jeg tar og leser Nebu sitt innlegg først og ser om jeg ikke finner det ut da:) Takk for tipset:)

[ambitiousnoob]

Hei igjen!

Det var en nyttig lesning, men jeg klarte ikke å komme heelt i mål...Det jeg fant, var:

[tex]A=-\frac{1}{2}[/tex]

[tex]B=\frac{1}{2}[/tex]

Så satte jeg opp:

[tex]\int{-\frac{1}{2(x+1)}+\frac{1}{2(x-1)}dx[/tex]

Kom fram til at dette skulle bli:

[tex]-\frac{1}{2}ln|2x+2|+\frac{1}{2}ln|2x-2|+C[/tex]

Men det stemmer jo ikke helt med fasit :s hva gjør jeg feil her?

[Vektormannen]

Det er nesten riktig dette

Men husk at når du har satt konstanten 1/2 utenfor så står det igjen [tex]-\frac{1}{x+1}[/tex] og [tex]\frac{1}{x-1}[/tex]. Hvis du korrigerer dette får du riktig svar. For å få det på den formen fasiten har det, bruker du logaritmeregelen [tex]\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}[/tex].

[ambitiousnoob]

Ah genialt, tusen takk for svar og god hjelp! Vil det forventes på en eksamen at man skriver svaret slik det står i fasit, får man trekk hvis man "glemmer" det?

[Vektormannen]

Godt spørsmål. Selve integrasjonen er jo helt riktig utført, og jeg vil tro det er om man klarer delbrøkoppspaltingen som vektlegges mest. Det er jo det som skal testes ved å gi en slik oppgave. Samtidig forventes det at elever som tar R2 har kontroll på logaritmereglene, så det kan kanskje være snakk om trekk, men jeg vil ikke tro det er snakk om mye i såfall. Dette har kanskje andre et bedre svar på.