R1 vektorfunksjoner

[ini]

Hei! Har tentamen snart og trenger litt hjelp:)

En vektorfunksjon er gitt ved

x = t^3 - 12t
y = t^2 + 2t

Kurven har et dobbeltpunkt som svarer til to ulike t-verdier
Finn disse t-verdiene.

Får den til med kalkisen, men greier ikke å regne ut punktene.

Utregning:
x (t1) = x (t2) og y (t1) = y (t2)

skal jeg nå løse ved hjelp av innsettingsmetoden?
hvis det går an, kan dere hjelpe meg å løse den ved innsettingsmetoden?

[Solar Plexsus]

Her skal du finne s [symbol:ikke_lik] t slik at

(1) s[sup]3[/sup] - 12s = t[sup]3[/sup] - 12t
(2) s[sup]2[/sup] + 2s = t[sup]2[/sup] + 2t

Her gir likning (1)

s[sup]3[/sup] - t[sup]3[/sup] - 12s + 12t = 0
(s - t)(s[sup]2[/sup] + st + t[sup]2[/sup]) - 12(s - t) = 0
(s - t)(s[sup]2[/sup] + st + t[sup]2[/sup] - 12) = 0
(3) s[sup]2[/sup] + st + t[sup]2[/sup] - 12 = 0 fordi s [symbol:ikke_lik] t

mens likning (2) gir

s[sup]2[/sup] - t[sup]2[/sup] + 2s - 2t = 0
(s - t)(s + t) + 2(s - t) = 0
(s - t)(s + t + 2) = 0
s + t + 2 = 0 fordi s [symbol:ikke_lik] t
s = -t - 2

som innsatt i (3) resulterer i andregradslikningen

(-t - 2)[sup]2[/sup] + t(-t - 2) + t[sup]2[/sup] - 12 = 0
t[sup]2[/sup] + 4t + 4 - t[sup]2[/sup] - 2t + t[sup]2[/sup] - 12 = 0
t[sup]2[/sup] + 2t - 8 = 0
(t + 4)(t - 2) = 0
t = -4 eller t = 2 som gir dobbelpunktet (-16,8).

[ini]

hjertelig takk for hjelpen!=)

[\input{username}]

Hei, beklager denne dumpen, men holder på med denne nå. Jeg sliter med å forstå algebraen i hvordan

s^3 - t^3 - 12s + 12t = 0

blir til

(s - t)(s^2 + st + t^2) - 12(s - t) = 0

Jeg klarer å regne motsatt vei, og ser at det jo stemmer, men hvilken metode bruker man for å regne denne veien? Har noen kunnet vist meg denne mellomregningen?

[Fibonacci92]

Du kjenner sikkert til at



På samme måte er:



Mer generelt er:

[\input{username}]

Aha! Tusen takk... Er det den andre setningen der som kalles kubikksetningen(e)?

[Fibonacci92]

Hmm.. det tror jeg ikke. Jeg vil anta at kubikksetningene er:





Kan du sammenhengen mellom



og Pascals talltrekant?

[\input{username}]

nja, halveis; i

[tex](a+b)^n[/tex],

vil ekspansjonen gi koeffisientene a, b, c osv. Disse samsvarer med tallene i rad n i pascals trekant... Har egentlig aldri brukt det, da det ikke har vært spesielt store ekspansjoner nødvendig så langt i sinus, men det blir sikkert nyttig senere:)

P.s. Bare for å utforske dette litt videre, (siden jeg med denne oppgaven har fått en liten "knekk" når det gjelder troen på mine algebra-kunnskaper, som jeg trodde var solide;p), stemmer det at

[tex]a^n+b^n[/tex]

ikke kan faktoriseres når a og b er positive tall?

[Nebuchadnezzar]

[tex] = x^3 + 4^3 [/tex]

[tex]= x^3 + 64[/tex]

[tex]= ( x + 4 ) ( x^2 - 4x + 16 ) [/tex]

--------------------------------

[tex]x=2[/tex]

[tex]2^3 + 4^3 = 8 + 64 = 72[/tex]

[tex]( 2 + 4 ) ( 2^2 - 4\cdot 2 + 16 ) [/tex]

[tex]( 6 ) ( 12 ) [/tex]

[Fibonacci92]

Det Nebbi sier er at



kan faktoriseres dersom n er et oddetall.



kan altså ikke faktoriseres, men derimot kan vi f.eks. faktorisere slik:



Generelt tror jeg det er slik dersom n er et oddetall:



(Fortegnet veksler annenhver mellom positivt og negativt)

[Karl_Erik]

Er kanskje litt på siden av temaet her, men selv om [tex]a^2+b^2[/tex] ikke har noen grei reell faktorisering er ikke det samme sant for alle partallseksponenter - [tex]a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-(\sqrt 2 ab)^2 = (a^2+b^2-\sqrt 2 ab)(a^2+b^2+\sqrt 2 ab)[/tex]. Denne er nok ikke like nyttig som de Fibonacci92 nettopp skrev opp, men også kjekk å ha i bakhodet.