Jeg lurer på når man i et system av matrise ganget sammen. Har at to av dem blir 0 for eks Bx=0. Har man da bevist at hele systemet er 0. Altså er rekkefølgen av matriser ganget sammen likegyldig?
Jeg har bevist at hvis Bx=0 må ABx=0 også når du ganger AB først. Og jeg har bevist at CABx=0 når Bx=0 også når du ganger CAB sammen først.
matriseganging
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Hvis jeg tolker spørsmålet ditt riktig spør du om ABx=0 impliserer BAx=0. Svaret er at dette ikke stemmer. Du vet ikke generellt at Ax ligger i nullrommet til B.
Implikajosnen jeg nevnte over holder kun når A og B kommuterer, som de generellt ikke vil gjøre.
Implikajosnen jeg nevnte over holder kun når A og B kommuterer, som de generellt ikke vil gjøre.
altså et system av matriser som ganges sammen. For eks:
Ax=0
(kalte det Bx=0 før menn har byttet til Ax=0)
Man vet at Ax=0
Så systemet
BAx. Blir det 0?
Så systemet CBAx blir det 0?
Så systemet DCBAx blir det 0?
Jeg lurer egentlig på at siden Ax er 0 i seg selv vil da et hvert system med Ax som et av leddene altså
[tex]M_n.......M_2M_1Ax[/tex]
hvor M er matriser
også være 0?
Jeg har ved å lage n ganger n matirser vist at
BAx=0 og CBAx=0 når Bx=0 siden man får rekker fra Bx som faktor i alle ledd av CBAx og BAx.
Ax=0
(kalte det Bx=0 før menn har byttet til Ax=0)
Man vet at Ax=0
Så systemet
BAx. Blir det 0?
Så systemet CBAx blir det 0?
Så systemet DCBAx blir det 0?
Jeg lurer egentlig på at siden Ax er 0 i seg selv vil da et hvert system med Ax som et av leddene altså
[tex]M_n.......M_2M_1Ax[/tex]
hvor M er matriser
også være 0?
Jeg har ved å lage n ganger n matirser vist at
BAx=0 og CBAx=0 når Bx=0 siden man får rekker fra Bx som faktor i alle ledd av CBAx og BAx.
ærbødigst Gill
Det første du sier er helt riktig. Hvis Ax=0, så stemmer det at [tex]M_k M_{k-1} ... M_1 Ax=0[/tex]. Dette er problemfritt.
Det andre er mer problematisk. Spørsmålet er: Dersom vi vet at Bx=0, vet vi at BAx=0? (Her snakker vi om andre matriser enn over. En annen A.)
La oss forsøke. Jeg tror det er best å tenke på matriser som lineære transformasjoner her.
La alle matrsier være nxn. Anta [tex]ker(B)\neq 0[/tex] og la [tex]x\in ker(B)[/tex], der [tex]x\in \mathbb{R}^{n}[/tex]. Definer underrommet V slik at [tex]\mathbb{R}^n = ker(B) \oplus V[/tex] (se nederst for forklaring), men slik at [tex]V\neq ker(B)^{\perp}[/tex]. Definer nå [tex]A=\rm{proj}_{V}[/tex] som er en ortogonal projeksjon. Det blir kanskje litt jobb å vise, men da vil vi få at [tex]Ax\not\in ker(B)[/tex].
Konklusjonen er at [tex]Bx=0 \not\Rightarrow BAx=0[/tex].
([tex]\oplus[/tex] betyr direkte sum, og kan betraktes som en sum av vektorrom. Les mer på wiki hvis du er interessert.)
Det andre er mer problematisk. Spørsmålet er: Dersom vi vet at Bx=0, vet vi at BAx=0? (Her snakker vi om andre matriser enn over. En annen A.)
La oss forsøke. Jeg tror det er best å tenke på matriser som lineære transformasjoner her.
La alle matrsier være nxn. Anta [tex]ker(B)\neq 0[/tex] og la [tex]x\in ker(B)[/tex], der [tex]x\in \mathbb{R}^{n}[/tex]. Definer underrommet V slik at [tex]\mathbb{R}^n = ker(B) \oplus V[/tex] (se nederst for forklaring), men slik at [tex]V\neq ker(B)^{\perp}[/tex]. Definer nå [tex]A=\rm{proj}_{V}[/tex] som er en ortogonal projeksjon. Det blir kanskje litt jobb å vise, men da vil vi få at [tex]Ax\not\in ker(B)[/tex].
Konklusjonen er at [tex]Bx=0 \not\Rightarrow BAx=0[/tex].
([tex]\oplus[/tex] betyr direkte sum, og kan betraktes som en sum av vektorrom. Les mer på wiki hvis du er interessert.)