divergence theorem for å regne ut fluks

[gill]

I oppgave 5b regner de ut divergencen til curl F og får den til og bli 0. Jeg har skjønt de andre måtene å løse den på men at div generelt er 0 hva forteller det oss?

oppgave

http://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4105 ... 05_07k.pdf

her er fasit

http://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4105 ... 05_07k.pdf

[Vektormannen]

De trenger ikke å regne det ut en gang, for divergens til curl F er alltid null. Dette er (slik jeg forstår det i alle fall) fordi divergensen i et punkt (kort sagt) gir deg et tall på om punktet er en kilde eller en sluk for feltet, eller per definisjon grensen av fluksen gjennom en omliggende flate dividert på volumet avgrenset av flaten. Men i et område rundt et eller annet punkt der curl F er forskjellig fra 0, vil curl F være et felt som peker i én og samme retning gjennom hele området (normalt på planet som F befinner seg i). Da er total fluks på grenseflaten av dette området 0, og det er altså ingen divergens. Dette står det sikkert foklart mer inngående om i boken din? Figurene her kan kanskje også hjelpe.

[gill]

men når man har definert at ingen ting av curl går ut av overflaten vil det si at man tar utgangspunkt i greens theorem som tidligere i fasit og sier at curl alltid går rundt derfor svaret det samme som i a? Ser ikke helt hvorfor de trenger å gå via div. Viser de bare at vi snakker om curl?

[Vektormannen]

Det de mener er vel at du kan regne det ut ved å gå via divergensteoremet på denne måten:

[tex]\iint_{S_1} \text{curl} \vec{F} \cdot \hat n \ dS + \iint_{S_2} \text{curl} \vec{F} \cdot (-\hat k) \ dS = \iiint_{V} \text{div}(\text{curl} \vec{F}) \ dV[/tex],
og så bruker du at høyresiden blir 0 til å få

[tex]\iint_{S_1} \text{curl} \vec{F} \cdot \hat n \ dS = \iint_{S_2} \text{curl} \vec{F} \cdot \hat k \ dS[/tex].

[gill]

jeg bare lurte på hvorfor du prikker med -k for S2. Det er jo en buet overflate og vi skulle finne divergence i positiv z-retning

[Vektormannen]

Hvor står det at du skal finne divergens i positiv z-retning? Det du skal finne er [tex]\iint_{S_1} \text{curl} \vec{F} \cdot \hat n \ dS[/tex].

S2 er ikke en buet overflate. S2 er et kvadrat avgrenset av (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) og (1,1,0). Divergensteoremet sier at fluks til feltet ut av flaten er lik trippelintegralet av divergensen til feltet over området som er avgrenset. Normalvektoren til S2 som peker ut av området er [tex]-\hat k[/tex]. Normalvektoren til S1 som peker ut ut av området er [tex]\vec{n}[/tex] (det har de jo skrevet i oppgaven.)

Dermed blir total fluks den summen som er på venstre side av likhetstegnet i min forrige post.