second derivative test

[gill]

Det er oppgave 2a

http://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4105 ... 05_06k.pdf

dette er fasit

http://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4105 ... 05_06k.pdf

spørsmål om topp og bunnpunkt test oppgave 2a. De finner at punktet (1,2) er et saddle punkt siden

[tex]f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2=-2[/tex]

men jeg har et spørsmål om teorien. Vet at det er det per definisjon.

siden her er [tex]f_{xx}=0[/tex] og [tex]f_{yy}=0[/tex]


fra forklaring for second derivative test har vi at Q som angir forandring et lite stykke fra punktet er gitt ved:





[tex]Q(0)=h^2f_{xx}(a,b)+2hkf_{xy}(a,b)+k^2f_{yy}(a,b)[/tex]

Det er på denne siden det står:


http://bildr.no/view/849077

det blir jo her neg og da bør det vel være et toppunkt?

her er hele utgreiningen for second derivative test:

http://bildr.no/view/849075


http://bildr.no/view/849077

[Vektormannen]

Poenget her er at [tex](hf_{xx} + kf_{xy})^2[/tex] alltid er positiv, mens [tex](f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2)k^2[/tex] er negativ. Hvis sistnevnte ledd blir større enn førstnevnte i absoluttverdi (altså hvis k er stor nok og f.eks. h liten nok), vil summen bli negativ. Hvis sistnevnte ledd blir mindre enn førstnevnte i absoluttverdi, vil summen bli positiv. Hva som skjer vil altså avhenge av verdiene til k og h. Så det er ikke mulig å bestemme fortegnet til [tex]f_{xx} Q(0)[/tex].

Dette vil aldri bli noe problem når [tex]f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2 > 0[/tex], siden summen da alltid blir positiv.

[Vektormannen]

Ops.. ser at du refererte til en annen ligning. Jeg tenkte her på den siste, endelige ligningen som brukes for å komme frem til disse reglene for å bestemme hvilken type kritisk punkt det er.

I ditt tilfelle, i den ligningen du refererer til, blir det:

[tex]Q(0) = h^2 f_{xx}(1,2) + 2hkf_{xy}(1,2) + k^2f_{yy}(1,2) = 4hk e^{-2}[/tex] hvis jeg ikke har regnet feil. Da ser vi at fortegnet vil variere alt etter hvilket fortegn h og k har.

[gill]

ok:) takk skal du ha

Jeg lurer på en annen ting angående second derivative test som kanskje er sjeldent relevant for eksamen men hvorfor er ikke testen brukendes når:

[tex]f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2=0[/tex]

Man har fremdeles et uttrykk for Q som man kan se på?

[tex]f_{xx}Q=(hf_{xx}+kf_{yy})^2[/tex]

[Vektormannen]

Som det står i boken så kan man ikke vite fortegnet sikkert. Det ene leddet kan bli 0 avhengig av hvordan funksjonen f er, og kombinasjoner av k og h (det vil si, hvor man befinner seg i forhold til ekstremalpunktet). Altså, det kan være at [tex]hf_{xx} \ = -kf_{yy}[/tex], og da blir høyre side 0, slik at det er umulig å avgjøre fortegnet. Poenget er at man vet ikke.

I de to første tilfellene (topp og bunn) så vet vi at høyresiden er positiv, så da er det ikke noe å lure på. Uansett hvilke k og h vi velger (det vil si, uansett hvor vi befinner oss rundt ekstremalpunktet) så vil høyre side ha ett og samme fortegn, slik at det er mulig å bestemme fortegnet til Q(0). På samme måte, i saddelpunktsituasjonen så vet vi at høyresiden kan bli negativ alt etter hvordan konstantene h og k er, og da vet vi at fortegnet vil avhenge av i hvilken retning man beveger seg bort fra ekstremalpunktet på.