Lurer på om det er noen som kan hjelpe meg å forstå dette.
Sliter med å finne ut hvordan jeg skal regne ut egenvektorer.
Har en matrise etter at jeg har funnet egenverdier og rekkeredusert den:
-2, 0, 5
0,-1, 4
0, 0, 0
Hvorfor blir egenvektorene 5,8,2 Hvordan regnes det ut
Egenvektorer
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
La oss kalle matrisen din [tex]A[/tex]. En egenvektor til [tex]A[/tex] er definert til å være en vektor [tex]x[/tex] slik at [tex]Ax = \lambda x[/tex] for et eller annet tall [tex]\lambda[/tex]. Lambdaene finner du ved å løse [tex]| A - \lambda I | = 0[/tex], fordi vi ikke er interessert i den trivielle løsningen [tex]x = \vec 0[/tex], og den eneste muligheten vi har for at [tex](A-\lambda I)x = 0[/tex] har en annen løsning enn den trivielle, er når determinanten til matrisen [tex]A-\lambda I[/tex] er null.
Denne likningen har sikkert flere løsninger, [tex]\lambda_1, \lambda_2,...,\lambda_n[/tex]. (Hvor mange løsninger vil den ha for en 3x3-matrise? 2x2? 4x4?). Og ved å sette lambda lik én av disse løsningene ad gangen, vil du kunne finne de tilhørende egenvektorene. (Hvor mange egenvektorer vil du få for hver lambda?)
Sett den ukjente vektoren lik [tex]x = (x_1, x_2, x_3)[/tex], velg en av egenverdiene, og løs likningen [tex]Ax = \lambda x[/tex] (*) for [tex]x_1, x_2[/tex] og [tex]x_3[/tex].
Det er ofte lettere å skrive (*) om til [tex](A-\lambda I)x = 0[/tex] når oppgaver skal løses.
Denne likningen har sikkert flere løsninger, [tex]\lambda_1, \lambda_2,...,\lambda_n[/tex]. (Hvor mange løsninger vil den ha for en 3x3-matrise? 2x2? 4x4?). Og ved å sette lambda lik én av disse løsningene ad gangen, vil du kunne finne de tilhørende egenvektorene. (Hvor mange egenvektorer vil du få for hver lambda?)
Sett den ukjente vektoren lik [tex]x = (x_1, x_2, x_3)[/tex], velg en av egenverdiene, og løs likningen [tex]Ax = \lambda x[/tex] (*) for [tex]x_1, x_2[/tex] og [tex]x_3[/tex].
Det er ofte lettere å skrive (*) om til [tex](A-\lambda I)x = 0[/tex] når oppgaver skal løses.
. klarer ikke å tenke.Vil ha at [tex]| A-\lambda I| = |\left( \begin{array}{ccc} -2 & 0 & 5 \\ 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) - \lambda I| = |\left( \begin{array}{ccc} -2-\lambda & 0 & 5 \\ 0 & -1-\lambda & 4 \\ 0 & 0 & -\lambda\end{array}\right)| = -\lambda |\left( \begin{array}{cc} -2-\lambda & 0 \\ 0 & -1-\lambda \end{array} \right)| = -\lambda (2+\lambda)(1+\lambda) = 0[/tex]. Dette betyr at [tex]\lambda_1 = 0[/tex], [tex]\lambda_2 = -1[/tex] og [tex]\lambda_3 = -2[/tex].
Dette kunne vi også sett av at A er [tex]\left( \begin{array}{ccc} -2 & 0 & 5 \\ 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)[/tex] og den har determinant lik null når vi har en rad eller kolonne med bare nuller.
Vi setter så, f.eks. [tex]\lambda = \lambda_1 = 0[/tex] og løser for [tex]\vec x = (x_1, x_2, x_3)[/tex]:
[tex]\left( \begin{array}{ccc} -2 & 0 & 5 \\ 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right) = \vec 0[/tex] og vi ganger ut og får to samtidige likninger i tre variable:
[tex]-2x_1 + 5x_3 = 0[/tex] og [tex]-x_2 + 4x_3 = 0[/tex]. Siden denne har uendelig mange løsninger, setter vi [tex]x_3 = t[/tex], og får [tex]x_2 = 4t[/tex], [tex]x_1 = \frac 52 t[/tex]. Dette blir da egenvektor(ene) våre for [tex]\lambda = 0[/tex]:
[tex]\vec x = \left( \begin{array}{c} \frac 52 t \\ 4t \\ t \end{array} \right)[/tex]. Tilsvarende gjøres for de to andre egenverdiene.
Dette kunne vi også sett av at A er [tex]\left( \begin{array}{ccc} -2 & 0 & 5 \\ 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)[/tex] og den har determinant lik null når vi har en rad eller kolonne med bare nuller.
Vi setter så, f.eks. [tex]\lambda = \lambda_1 = 0[/tex] og løser for [tex]\vec x = (x_1, x_2, x_3)[/tex]:
[tex]\left( \begin{array}{ccc} -2 & 0 & 5 \\ 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right) = \vec 0[/tex] og vi ganger ut og får to samtidige likninger i tre variable:
[tex]-2x_1 + 5x_3 = 0[/tex] og [tex]-x_2 + 4x_3 = 0[/tex]. Siden denne har uendelig mange løsninger, setter vi [tex]x_3 = t[/tex], og får [tex]x_2 = 4t[/tex], [tex]x_1 = \frac 52 t[/tex]. Dette blir da egenvektor(ene) våre for [tex]\lambda = 0[/tex]:
[tex]\vec x = \left( \begin{array}{c} \frac 52 t \\ 4t \\ t \end{array} \right)[/tex]. Tilsvarende gjøres for de to andre egenverdiene.
