Induksjonsbevis

[trapes]

Hallo!
Skal opp i muntlig eksamen i R2 på onsdag, og lurer på om dere kanskje har noen induksjonsbevis som jeg kunne ha prøvd meg på. Har reknet alle i boka, så vet hvordan de skal løses nå :b

[Nebuchadnezzar]

Bevis at [tex]n^3-n[/tex] er delelig på [tex]6[/tex] for alle n med to forskjellige måter

Vis at [tex]4^n-1[/tex] alltid er delelig på [tex]3[/tex] med to forskjellige måter

Vis at [tex]n^3>9n [/tex]når [tex]n>3[/tex]

Vis at [tex]2^n>n^2[/tex] For alle n

[Fibonacci92]

Den siste var vel litt slem Nebbi?:)

[Nebuchadnezzar]

Kanskje ^^ Er bare litt lite slike oppgaver i skolen...Jaja, gir ikke ut mer hint før trådstarter har prøvd litt =)

[Audunss]

...

[Nebuchadnezzar]

Shhh!

[trapes]

Okei, har sett litt på det første, og er stuck allerede Dette lover bra.

Det jeg gjorde var:

[tex] t^3 -t = 6s [/tex]
Fordi det må være delelig på 6, altså må det være lik 6 ganger et helt tall s.

Bytter ut t med t+1

[tex] (t+1)^3 - (t+1) [/tex]

Multipliserte så ut dette:

[tex] t^3 + 3t^2 + 3t + 1 - (t+1)[/tex]

Husker så at [tex] t^3 -t = 6s [/tex]

[tex] 6s + 3t^2 + 3t [/tex]

Der er jeg egentlig litt stuck, siden 3 ikke er delelig med 6...
Har jeg gjort noe feil, eller har jeg bare gjort det feil?

[trapes]

Forresten, beklager sent svar. Tordenværet har ikke vært snilt med internettilgangen til oss landlige sjeler.

[Nebuchadnezzar]

Loved da godt dette, du er nesten i mål, det er bare en ting til du må gjøre for å fullføre beviset ditt.

3(t^2+t)

Du må vise at t^2+t alltid er delelig på 2. Så er beviset i boks =)

[trapes]

Oioi!
Vel, vi har altså:
[tex] 6s + 3t^2 + 3t = 6s + 3t (t + 1) [/tex]
[tex] t (t+1) [/tex] må da være delelig på 2, altså:

[tex] (t^2+t) = 2r [/tex] der r er et helt tall.

Sjekker for t = 1. Da får vi 2, altså det stemmer.

Setter inn t + 1

[tex] (t+1)^2 +(t+1) = (t^2 + 2t + 1 +t+1) = (t^2 + t) + (2t+2) [/tex]

Husker at
[tex] (t^2+t) = 2r [/tex]


[tex] 2r + (2t+2) = 2r + 2 (t+1) [/tex]

Dette er alltid delelig med 2.
Ergo har vi et tall r der:
[tex] 2r =(t^2+t) [/tex]

Tilbake til den opprinnelige oppgaven:

[tex] 6s + 3t^2 + 3t = 6s + 3 (t^2+t) = 6s + 3*2r = 6s + 6r [/tex]

Og det er selvfølgelig alltid delelig med 6. To induksjonsbevis i ett, me like!

[Nebuchadnezzar]

Evnt legge merke til at n^3-n er det samme som 3 naturlige heltall på rad.

Blant tre naturlige påfølgende tall vil ett av disse alltid være delelig på tre og et av de alltid være delelig på to. 1 2 3 , 2 3 4 , 3 4 5 osv

Dermed vil tre påfølgende heltall alltid være delelig på 6. Siden 6=3*2

[trapes]

Eventuelt det ja, hehe. Litt mindre komplisert kanskje.

Har prøvd meg på en av de andre også nå, men er ikke helt sikker på hvordan dette vil utvikle seg i grunnen.

[tex] n^3 > 9n[/tex]

Dvs at:

[tex] (t+1)^3 > 9 (t+1) [/tex]

Vi vet at t+1 må være positiv siden definisjonsmengden kun er for t > 3.

[tex] (t+1)^2 > 9 [/tex]
[tex] t^2 + 2t + 1 > 9 [/tex]
[tex] t^2 + 2t > 8 [/tex]

Dersom [tex] t^2 + 2t > 8 [/tex] så er:
[tex] (t+1)^2 + 2(t+1) > 8 [/tex]
[tex] t^2 + 2t + 1 + 2t + 2 > 8 [/tex]
[tex] t^2 + 4t > 5 [/tex]

Da må:

[tex] (t+1)^2 + 4(t+1) > 5 [/tex]
[tex] t^2 + 2t + 1 + 4t + 4 > 5 [/tex]
[tex] t^2 + 6t > 0 [/tex]

Kan vi si at det må det være, eller er jeg helt på jordet her?

[Nebuchadnezzar]

Yawn, tror jeg ville gjort det slik

1. Sjekker om det stemmer for [tex]n=3[/tex]
2. Sjekker om det stemmer for [tex]n=k+1[/tex]

[tex](k+1)^3>9(k+1)[/tex]

Deler på [tex](k+1)[/tex] siden [tex] k>3[/tex] altså ikke lik [tex]-1[/tex]

[tex](k+1)^2>9[/tex]

Tar kvadratroten siden [tex]k>3[/tex], altså positiv

[tex]k+1>3[/tex]

Og nå vet jo vi at [tex]k>3[/tex] så

altså vet vi at [tex]k+1>3[/tex]

Som gjør at resten følger ved induksjon,s siden vi har vist at det stemmer når [tex]n=k+1[/tex] og når [tex]n=3[/tex]

Tror dette skal holde, noen får rette meg om det er feil. Yawn.

[Karl_Erik]

Det siste beviset blir litt 'feil vei'. Du begynner med det du skal vise, nemlig [tex]n^3>9n[/tex], og slutter fra dette at du må ha [tex]n>3[/tex], som er sant. Problemet er jo at du har tatt noe du gjerne vil bevise at er sant, og brukt det til å bevise noe du vet er sant. Dette viser jo ikke det du hadde lyst til å vise. Men som du sikkert er klar over er alt du gjorde underveis ekvivalenser, så du kan godt gå andre veien - begynne med [tex]n>3[/tex], slutte [tex]n^2>9[/tex] og til slutt ende med [tex]n^3>9n[/tex]. (Siden [tex]n>0[/tex].), og ende med et gyldig bevis, men da må du som sagt enten skrive ulikhetene dine andre veien eller presisere at du omformer ulikhetene til ekvivalente former.

En mindre flisespikking her er at måten du viser det på ikke ser ut til å være et særlig typisk induksjonsbevis. Du kan godt formulere det som et, men du bruker jo ikke induksjonshypotesen overhodet. Dette er ikke noe problem om alt du er ute etter er å bevise noe, så klart, men om du vil gjøre et 'skikkelig' induksjonsbevis skriver du først om ulikheten til formen [tex]n^2>9[/tex] for enkelhets skyld. Du sjekker det så for n=4. Dette stemmer. Anta så at det stemmer for n=k, dvs at [tex]k^2>9[/tex]. Da er [tex](k+1)^2=k^2+(2k+1)[/tex]. Vi vet at [tex]k^2>9[/tex] av induksjonshypotesen, så [tex]k^2+(2k+1)>9+(2k+1)>9+0=9[/tex] (siden k>0). Altså er [tex]k^2+(2k+1)>9[/tex], så [tex](k+1)^2=k^2+(2k+1)>9[/tex], som var det vi ville vise.

[trapes]

Fikk induksjonsbevis, så verddet.