Bevisoppgave

[krje1980]

Jeg er litt usikker på om dette hører hjemme i dette forumet eller i bevisforumet, men det er vel større sjanse for å få svar her så jeg poster det her .

Jeg bare lurer på om jeg har gjort en bevisoppgave korrekt. Som regel er algebraen enkel i disse oppgavene. Det som er vanskelig er å ordlegge meg korrekt slik at beviset er helt ugjennomtrengelig logisk!

Her er oppgaven:


Prove that for every real number [tex]x[/tex] there is a real number [tex]y[/tex] such that for every real number [tex]z[/tex], [tex]yz = (x + z)^{2} - (x^{2} + z^{2})[/tex].

Løsningsforslag:

Vi har at [tex](x + z)^{2} - (x^{2} + z^{2}) = 2xz[/tex]. Altså har vi at

[tex]yz = 2xz[/tex]

[tex]y = 2x[/tex].

Beviset blir dermed som følger:

Anta at [tex]x[/tex] er et vilkårlig reelt tall. Anta videre at [tex]y=2x[/tex]. Da er [tex]yz = 2xz[/tex] og vi ser da at vi for et vilkårlig reellt tall [tex]x[/tex] har et reellt tall [tex]y[/tex] slik at for et hvert tall [tex]z[/tex], [tex]yz = (x + z)^{2} - (x^{2} + z^{2}) = 2xz[/tex].

Setter pris på om noen kan bekrefte/avkrefte at jeg har gjort dette korrekt. Jeg har alt tatt 70 sp på universitetet, men jeg føler at det å jobbe med bevisføring er en helt ny start og jeg er back to basics igjen. Nå har jeg riktignok hat litt bevisføring i forbindelse med epsilon-delta i grenseverdier og Riemann integraler, men jeg er likevel veldig grønn på dette med bevisføring.

[Nebuchadnezzar]

Hvordan vet du at [tex](x + z)^{2} - (x^{2} + z^{2}) = 2xz[/tex] ?

[espen180]

Bare skriv ut den første parantesen, så få du [tex](x+z)=x^2+2xz+z^2[/tex]. Dette er 1. kvadratsetning.

[Markonan]

Anta at [tex]x[/tex] er et vilkårlig reelt tall. Anta videre at [tex]y=2x[/tex]. Da er [tex]yz = 2xz[/tex] og vi ser da at vi for et vilkårlig reellt tall [tex]x[/tex] har et reellt tall [tex]y[/tex] slik at for et hvert tall [tex]z[/tex], [tex]yz = (x + z)^{2} - (x^{2} + z^{2}) = 2xz[/tex].

Synes det ser bra ut. Kunne kanskje gjort noen små endringer:

Anta at [tex]x[/tex] er et vilkårlig reelt tall. Definerer [tex]y=2x[/tex]. For en vilkårlig [tex]z\in\mathbb{R}[/tex] får vi [tex]yz = 2xz[/tex]
<algebrastegene her>
[tex]yz = (x + z)^{2} - (x^{2} + z^{2}).\;\;\box[/tex]

Poenget med å velge et vilkårlig tall er at du ikke gjør noen antagelser på tallet, som f.eks at det er positivt, eller at det er et partall etc, for når noe gjelder for et vilkårlig tall i en mengde så gjelder det da også for alle tallene i den mengden. I antagelsene er x og z helt vilkårlige, og da gjelder resutlatet for alle reelle tall. Du skal derimot bare finne en bestemt y, og det er y = 2x, som du kan finne for alle x.

Setter pris på om noen kan bekrefte/avkrefte at jeg har gjort dette korrekt. Jeg har alt tatt 70 sp på universitetet, men jeg føler at det å jobbe med bevisføring er en helt ny start og jeg er back to basics igjen. Nå har jeg riktignok hat litt bevisføring i forbindelse med epsilon-delta i grenseverdier og Riemann integraler, men jeg er likevel veldig grønn på dette med bevisføring.

Det er to store hindere for en som skal lære matte (og mange, mange små).

Den første er når man skal lære algebra og begynner å regne med bokstaver i stedet for tall, og det andre store hinderet er når man går fra den vanlige oppgaveregningen man har hatt gjennom hele skolegangen til å skrive formelle bevis.

Man begynner, som du sier, helt på begynnelsen igjen. Bare vær glad for at du får den snille innføringen fra Velleman fremfor å streve med å forstå bevisene når du holder på med litt komplisert matematikk! (Da må man på en måte lære to ting på en gang).

[krje1980]

Tusen takk, Markonan.

Jeg var i hvert fall nærmere denne gangen enn sist . Det begynner å gå seg litt til! Føler jeg i hvert fall.

Som jeg har nevnt tidligere så velger jeg å gå gjennom Vellemans bok som en forberedelse til jeg skal ta reell analyse til høsten. Har faktisk i dag også bestilt Antonia Cupillaris "The nuts and bolts of proofs" som ekstra litteratur. Det som er litt slitsomt med Vellemans bok er at han har veldig mye formell logikk, og den er egentlig ikke helt 100 % en "mattebok", hvis du skjønner . Mange av eksemplene har mer til felles med lingvistikk enn med matematikk. Cupillaris bok skal visstnok være mer direkte anvendbar på matematikk.

Jeg vet at vi skal bruke Rudins "Principles of Mathematical Analysis" i reell analyse, og jeg har hørt at dette er en ganske tøff bok. Håper den er overkommelig for en som meg, som ikke går på verken forelesninger eller seminarerl

[Markonan]

Velleman sin bok starter med mye språk-eksempler, men det er for å gi en veldig myk innføring i logikken. Men den tar seg opp! Den dekker blant annet det viktigste i mengdelære og om funksjonsteori.

Da jeg tok et kurs i mål og integrasjonsteori, fikk jeg de første to kapitlene gratis siden det var det samme som ble dekket mot slutten i Velleman sin bok. Det samme kunne vært sagt om topologi om jeg hadde tatt det.

Men det er helt sikkert lurt å se på andre bøker også. Du kommer jo til å bli en mester i bevisføring.

[krje1980]

Velleman sin bok starter med mye språk-eksempler, men det er for å gi en veldig myk innføring i logikken. Men den tar seg opp! Den dekker blant annet det viktigste i mengdelære og om funksjonsteori.

Da jeg tok et kurs i mål og integrasjonsteori, fikk jeg de første to kapitlene gratis siden det var det samme som ble dekket mot slutten i Velleman sin bok. Det samme kunne vært sagt om topologi om jeg hadde tatt det.

Men det er helt sikkert lurt å se på andre bøker også. Du kommer jo til å bli en mester i bevisføring.

He he. Takk for de oppmuntrende ordene . Det er litt merkelig, etter å ha mestret Fourier rekker, trippelintegraler, fluxberegning, kompleks integrasjon, etc., å plutselig sitte å fomle med oppgaver som på overflaten ser så enkle ut. Skulle egentlig ønske at det var litt flere fasitsvar i Velleman sin bok. Dette er en av grunnene til at jeg poster noen av løsningene mine på forumet - i og med at det ikke er noen fasit på oppgavene er det ikke noen annen måte å få bekreftet at resonneringen er riktig enn å plage dere her .

Faktum er at de oppgavene jeg har størtst problemer med er de som går på å bruke ren logikk-notasjon. Og enkelte mengdeoppgaver kan være veldig abstrakte og vanskelig. Oppgaver som involverer mer typisk matematikk har jeg mer kontroll på.