Derivasjon av potensfunksjoner: eksakt koordinat bunn/topp

[diamantsnupp]

Hei


f(x) = x + 2/x

Oppgave: finn de eksakte koordinatene til toppunktet og bunnpunktet.

jeg deriverer f(x)
og får:

f'(x) = 1 - 2/x^2

setter f'(x) = 0

1 - 2/x^2 = 0
-2/x^2 = -1
-2 = -x^2
x^2 = 2

[symbol:rot] x^2 = [symbol:plussminus] [symbol:rot] 2

får da x1 = - [symbol:rot] 2 og x2 = [symbol:rot] 2


Jeg benytter deretter f''(x) til å finne krummning slik at jeg vet hvilken av x'ene er toppunkt/bunnpunkt koordinat.

får
f''(x) = 4 x^-3

Her stopper det opp, Jeg tror at jeg skal sette inn x1 og x2 inn i f''(x)
for å se om jeg får positiv/negativ verdi da vet jeg hvordan graf krummer.
Klarer ikke å komme videre

f''(- [symbol:rot] 2) = 4 * (- [symbol:rot] 2)^-3

Klarer virkelig ikke å regne ut dette , Kan noen være så snill å hjelpe meg??


Er jeg helt på bærtur? puh.. sliten

[Aleks855]

Jeg pleier som regel ikke å dobbelderivere for å finne topp- og bunnpunkter.

Nå vet du at du har ekstremalpunkter i x= [symbol:rot]2 og x=-[symbol:rot]2

Prøv nå å se hva som skjer hvis du finner [tex]f(\sqrt2)[/tex].

Deretter kan du se hva som skjer hvis du finner [tex]f(5)[/tex]. Vi vet at 5>2, så hvis [tex]f(5) > f(\sqrt2)[/tex] så vet vi også at [tex]f(\sqrt2)[/tex] er et bunnpunkt.

Si fra hvis det ble litt uklart, hehe

[diamantsnupp]

Det skjønte jeg ikke:p
Hvor kom 5 tallet fra?


Uansett jeg fortsatte på oppgaven:

jeg brukte f''(x)
siden positiv f''(x) gir bunnpunkt
og negativ f''(x) gir toppunkt

når jeg visste hvilken x som var topp og bunn

satte jeg inn i f(x) for å få y verdi.


Men vil gjerne høre metoden din. Men da må du utdype mer skjønner ikke det 5 tallet:P

[Aleks855]

5-tallet var et tilfeldig valgt tall som var større enn [symbol:rot]2

Her er tankegangen min:

[tex]f(\sqrt2) = \frac{4}{\sqrt2}[/tex] eller ca 2.83

Dette er et ekstremalpunkt, men vi vet ikke om det er topp eller bunn. Men hvis vi ser på et bunnpunkt, så vil grafen stige både til venstre og til høyre for dette punktet.

Vi setter inn en ny verdi for x slik at [tex]x>\sqrt2[/tex]. For eksempel 5

[tex]f(5) = \frac{27}{5} = 5.4[/tex]

Siden 5.4 > 2.83, så vet vi at når grafen går mot høyre, så går den også oppover. Slik vet vi at [tex]x=\sqrt2[/tex] er et bunnpunkt.



Dette er dog noe jeg gjør fordi jeg sparer tid på å la være å dobbelderivere.

[diamantsnupp]

Ok, nå skjønner jeg:)

Ja det tok drit lang tid!!!!


Kan du hjelpe meg med denne oppgaven:


derivasjon:

deriver uttrykket:


(x^2+x)lnx


nå har jeg holdt på med den en stund får ikke riktig.
Kan du vise meg ledd for ledd?

[Georgio]

[tex] f(x) = (x^2 + x)ln x[/tex]

Bruker produktregelen:

[tex] f^,(x) = u^,v + uv^,[/tex]

hvor vi setter opp

[tex]u = (x^2 + x)[/tex]

[tex]v = ln x[/tex]

[tex]u^, = 2x + 1[/tex]

[tex]v^, = \frac{1}{x}[/tex]

dette gir da

[tex] f^,(x) = (2x+1)lnx + (x^2+x)\frac{1}{x}[/tex]
[tex] f^,(x) = 2x ln x + ln x + \frac{x^2}{x} + \frac{x}{x}[/tex]
[tex] f^,(x) = 2x ln x + ln x + x + 1[/tex]

[diamantsnupp]

hjelp:

Kvadratrot regning, kan du det?

2x* [symbol:rot] x + x^2/2 [symbol:rot] x


fasiten sier svaret skal bli:

5/2x [symbol:rot] x

her er jeg virkelig helt blank, trenger skikkelig utdypning og hvilke regler man benytter. Vær så snill ledd for ledd:P

[Georgio]

Kan starte med et tips : )

[tex] \sqrt{x} = x^{1/2}[/tex]

[tex] \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}[/tex]

[diamantsnupp]

jeg virker nok helt idiot:

Men jeg kommer ikke lenger selv når jeg kan de reglene, har prøvd

Kan du vise meg hvordan jeg bruker de og hvor.. sliter...

[Georgio]

Hehe, ingen kan matematikk før de har jobbet med det, så noen idiot er du ikke !

Det letteste måten å "se" sånne oppgaver før man blir litt rutinert er å bruke reglene
[tex]x^a \cdot x^b = x^{a+b}[/tex]
og
[tex]\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}[/tex]

Oppgaven din var:
[tex] 2x \cdot \sqrt{x} + \frac{x^2}{2\sqrt{x}}[/tex]

Det første leddet gir da med bruk av reglene over:

[tex] 2x \cdot \sqrt{x} = 2x^{1+0.5} = 2x^{1.5}[/tex]

Det andre leddet gir

[tex] \frac{x^2}{2\sqrt{x}} = \frac{x^{2-0.5}}{2} = \frac{x^{1.5}}{2}[/tex]

Når vi da slår disse sammen får vi

[tex] 2x^{1.5} + \frac{x^{1.5}}{2} = 2.5 x^{1.5} = \frac{5}{2}x\cdot \sqrt{x} [/tex]

PS! Rent estetisk er det vel ikke best å bruke desimaltall i utrekningene, men det gir minst jobb når man skriver på et forum : )

[diamantsnupp]

å herrigud nå tror jeg at jeg skjønte!


spm vedrørende + av potenser:

er dette riktig:

2x^3/2 + 1/2x^3/2 = 5/2x^3/2

dette går ann fordi man kan plusse 2 + 1/2 fordi x^3/2 er "med" begge tallene ?

og hvordan/hvorfor skal jeg vite at 5/2x^3/2 = 5/2x * [symbol:rot] x?

jeg hadde nok stoppet på 5/2x^3/2


Tusen takk for utrolig utfyllende svar

[Georgio]

er dette riktig:
2x^3/2 + 1/2x^3/2 = 5/2x^3/2

Jepp !

dette går ann fordi man kan plusse 2 + 1/2 fordi x^3/2 er "med" begge tallene ?

Stemmer !

og hvordan/hvorfor skal jeg vite at 5/2x^3/2 = 5/2x * [symbol:rot] x?

Vi har en regel som sier [tex]x^{\frac{a}{b}} = {^b}\sqrt{x^a}[/tex]

Da får vi [tex] x^{3/2} = {^2}\sqrt{x^3}[/tex]

Det under kvadratrota kan skrives som [tex]\sqrt{x \cdot x^2}[/tex]

Dette kan igjen skrives som [tex]\sqrt{x} \cdot \sqrt{x^2} = \sqrt{x} \cdot x[/tex]

[diamantsnupp]

Ok.

Ha ha..

Tusen takk!!!!

kan ikke tro at jeg har sittet å jobbet med matte fra 1430 - 0424

woho.. fantastisk at man får hjelp når man står fast på denne siden.

Jeg er frelst!

[Aleks855]

Velkommen til Matematikk.net!