absolutt maksimum på åpent intervall

[gill]

Funksjonen i eks 1 under har ikke topppunkt i d eller a

http://bildr.no/view/924954

fordi det er et åpent intervall. Synes det er litt rart at de ikke definerer toppunkt i d for eks i punktet like før 2 men det er kanskje bare en definisjon for åpne intervall?

Men jeg lurer på et tenkt tilfelle for en lignende graf som i d men hvor det er et punkt som er høyere enn de andre for eks når x= 1 har du et punkt som er høyere enn nabopunkter til venstre og høyre og deretter går grafen opp høyere til den er høyere enn i punktet 1 og øker hele veien mot 2. Intervallet er altså (0,2) Er det da et absolutt maksimum i 1?

[Solar Plexsus]

I eksemplet du beskriver er (slik jeg oppfatter det) [tex]f[/tex] kontinuerlig i intervallet [0,2]. Da vil [tex](1,f(1))[/tex] være et lokalt toppunkt ettersom [tex]\lim_{x \rightarrow 2^-} \: f(x) = f(2)\,>\,f(1).[/tex]

Et eksempel på en funksjon som tilfredsstiller din beskrivelse er

[tex]f(x) = 2x^3 - 7x^2 + 8x, \; D_f=(0,2).[/tex]

Her er [tex]f(0)=0[/tex] og [tex]f(2)=4[/tex], hvilket innebærer at [tex](1,f(1)) = (1,3)[/tex] et lokalt toppunkt og [tex](\frac{4}{3},f(\frac{4}{3})) = (\frac{4}{3},2\frac{26}{27})[/tex] er et lokalt bunnpunkt.

[gill]

så hvis jeg er med på notene her så i et åpent intervall hvor endepunktene for å kalle dem det er toppunkt eller bunnpunkt definerer man ikke topp eller bunnpunkt i motsetning til lukkede intervall hvor man gjør det. Dette er i så fall en definisjon eller? Litt vanskelig å forklare det på en annen måte vrker det som for meg da i hvert fall.

[Markonan]

Funksjonen i eks 1 under har ikke topppunkt i d eller a
fordi det er et åpent intervall. Synes det er litt rart at de ikke definerer toppunkt i d for eks i punktet like før 2 men det er kanskje bare en definisjon for åpne intervall?

Det du snakker om her er kanskje den naturlige løsningen for å definere et topp eller bunnpunkt i et åpent intervall, men problemet da er, som i eksempelet du lenket til: hvordan velger du punktet like før 2?

Problemet er at uansett hvilket punkt du velger, så kan du finne et større punkt i det åpne intervallet som gjør at punktet du valgte ikke er det største.

I eksempelet brukte de f(x) = x[sup]2[/sup] i det åpne intervallet (0,2).

Hvis du prøver å sette x=1.9999 som maksimum, kan jeg komme med 1.999999999 som også er i intervallet og som gir en større verdi. Hvis du prøver å velge 1.99999999999999999 så kan jeg igjen hente 1.99999999999999999999999999999999999999999999999, og sånn kan vi fortsette inn i all evighet. Kort sagt kan du ikke velge noe makspunkt siden det alltid finnes punkter som gir større funksjonsverdi, i hvert fall når du jobber med åpne intervaller.