Kjerneregelen i derivasjon

[Aleks855]

Skal derivere [tex]f(x)=e^{-x}[/tex]

Brukte først brøkregelen, og fikk [tex]f\prime(x) = -e^{-x}[/tex]

Testa WolframAlpha for å sjekke at det var rett. Sjekka steg, og der brukte de kjerneregelen, så jeg tenkte jeg skulle teste å bruke kjerneregelen også.

Selv om vi lærte kjerneregelen på skolen, så har jeg aldri vært helt trygg på den, men tror jeg har oppdaget mønsteret jeg aldri har sett før, som gjorde oppgaven lettere.

1) Man har f(x) (her;[tex] e^{-x}[/tex])

2) Man innfører u=g(x) (her; [tex]u=-x[/tex])

3) Man deriverer f(x) med hensyn på u (her; [tex](e^u) \prime = e^u \Right e^{-x}[/tex])

4) Men multipliserer svaret med g'(x) (her; [tex](-x)\prime = -1 \Right (-1)(e^{-x})[/tex]

~fin~

Det var vel slik vi lærte det på skolen, men jeg syntes det ble veldig mye lettere å faktisk se stegene når jeg deriverte akkurat denne funksjonen.

Er dette kjerneregelen i et nøtteskall, eller er det noe jeg har hoppet over eller oversett?

På forhånd takk!

[Nebuchadnezzar]

Hva med [tex]3^{-x}[/tex] hvordan ville du ha derivert den ?

Dette tilfellet er litt spesielt og kan ikke løses akkurat slik du gjorde det. Selv om det blir riktig i ditt tilfellet.

Det vi kan si er at

[tex]f(x)=a^{g(x)}[/tex]

så er

[tex]f^{\tiny\prime}(x)=\ln(a) \cdot a^x \cdot g^{\tiny\prime}(x)[/tex]

Der a er en konstant. Om a er en funksjon, blir ting komplisert...

Vi kan si noe slikt som

[tex]y = e^{-x}[/tex]

Tar vi ln på begge sider

[tex]\ln(y)=-x \ln{e}[/tex]

[tex]\ln(y)=-x [/tex]

Så tar vi og deriverer implisitt på [tex]x[/tex] på begge sider og får da

[tex]\frac{1}{y}\cdot y^{\tiny\prime} = -1[/tex]

Ganger vi med [tex]x[/tex] på begge sider

[tex]y^{\tiny\prime} = -1y[/tex]

Men hva y er, det vet vi allerede [tex]y = e^{-x}[/tex] så

[tex]y^{\tiny\prime} = -1 e^{-x}[/tex]

Dette er en tungvindt metode på akkuratt denne funksjonen, men på mange andre er den svært nyttig, slik som for eksempel.

Å finne ekstremalverdien til [tex]x^x[/tex], om den finnes Artig oppgave, bare å prøve seg på derivasjonen.

[Aleks855]

Så tar vi og deriverer implisitt på [tex]x[/tex] på begge sider og får da

[tex]\frac{1}{y}\cdot y^{\tiny\prime} = -1[/tex]

Her datt jeg av. Hva vil det si å derivere implisitt på x? Er det at man deriverer med hensyn på x?

Og jeg ser heller ikke hvordan du fikk uttrykket på venstre side. Mulig du differensierer der, men det har jeg ikke lært enda.

[Gustav]

Implisitt derivasjon betyr bare at man deriverer hver side av likheten mhp. en variabel. Fordelen med dette er at det kan brukes selv når y ikke er uttrykt eksplisitt som en funksjon av x, som i eksempelet til nebu.

[Aleks855]

Hmm, skjønner hva du mener, men jeg skjønner ikke bruken av det, i eksempelet.

På høyre side ble -x til -1 etter derivasjonen.

På venstre side:

[tex]ln(y)[/tex] ble [tex]\frac{1}{y} \cdot y^{\tiny\prime}[/tex]

Ser ut som han har derivert ln(y) til å bli 1/y, og dermed ganget inn y'.

[Gustav]

[tex]\frac{d(\ln(y))}{dx}=\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}[/tex] ved bruk av kjerneregelen.

Kjerneregelen med Leibniz's notasjon: [tex]\frac{df(g(x))}{dx}=\frac{df(g)}{dg}\frac{dg}{dx}[/tex]