Problem - Euklidsk rom

[krje1980]

Har kommet meg gjennom de fleste oppgaver i Rudin kapittel 1, men står litt fast på en av oppgavene. Etter dette skal jeg ta en pause i analysen, så da vil jeg ikke plage dere med så mange spørsmål de neste dagene .

OK. Oppgaven lyder:

Suppose [tex]k \geq 3[/tex]

[tex]\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{k}[/tex]

[tex]|\mathbf{x} - \mathbf{y}| = d[/tex], and [tex]r > 0[/tex]. Prove:

(a) If [tex]2r > d[/tex], there are infinitely many [tex]\mathbf{z} \in \mathbb{R}^{k}[/tex] such that:

[tex]|\mathbf{z} - \mathbf{x}| = |\mathbf{z} - \mathbf{y}| = r[/tex].

(b) If [tex]2r = d[/tex], there is exactly one such [tex]\mathbf{z}[/tex].

(c) If [tex]2r < d[/tex], there is no such [tex]\mathbf{z}[/tex].


OK. Har tenkt som følger på (a):

Vi har at [tex]|\mathbf{z} - \mathbf{x}| = |\mathbf{z} - \mathbf{y}| = r[/tex]. Altså må:

[tex]|\mathbf{z} - \mathbf{x}| + |\mathbf{z} - \mathbf{y}| = 2r[/tex]

Vi har videre at:

[tex]|\mathbf{z} - \mathbf{x}| + |\mathbf{z} - \mathbf{y}| \geq |\mathbf{x} - \mathbf{y}| = d[/tex].

Her blir jeg imidlertid litt usikker på hvordan jeg kan gå videre. Kan jeg her sette at siden [tex]|\mathbf{z} - \mathbf{x}| + |\mathbf{z} - \mathbf{y}| = 2r[/tex] så har vi at [tex]2r \geq d[/tex]? Og dermed er den gitte ulikheten oppfylt? (vi har jo gitt [tex]2r > d[/tex]).

Jeg er imidlertid ikke sikker på om dette er gjort riktig. Setter veldig stor pris på tips/korreksjoner!

[krje1980]

Ingen som vet?

[Gustav]

Ble litt usikker på hva Rudin vil frem til med denne oppgaven. Forsto ikke helt din fremgangsmåte heller.

Dersom [tex]2r>d[/tex] vil jo mengdene [tex]\{z\in\mathbb{R}^k: |z-x|=r\}[/tex] og [tex]\{z\in\mathbb{R}^k: |z-y|=r\}[/tex] snitte i en (k-2)-dimensjonal flate som inneholder uendelig mange punkter dersom [tex]k\geq 3[/tex].

[krje1980]

Takk for svar!

Ja, jeg må innrømme at jeg var veldig usikker på hvordan jeg skulle gå frem.

Jeg begynte med å prøve å visualisere problemet i [tex]\mathbb{R}^{3}[/tex]. Da har vi at avstanden fra z til x, og avstanden fra z til y skal være lik (gitt ved konstanten [tex]r[/tex]). Bruker så triangulærulikheten for [tex]\mathbb{R}^{3}[/tex] som jo sier at avstanden fra z til x, pluss avstanden fra z til y, må være større eller lik avstanden fra x til y. I dette tilfellet får vi oppgitt at denne avstanden er gitt ved konstanten [tex]d[/tex].

Det er ut i fra dette jeg har prøvd å løse oppgaven, men, som sagt, så er jeg veldig usikker på fremgangsmåte i denne oppgaven.

[krje1980]

Forøvrig skal variablene i oppgaven være vektorer. Jeg ser at dette ikke kom tydelig frem, selvom jeg prøvde å utheve dem. Skal bruke piler neste gang.

[Charlatan]

Hint: Du kan anta at x = 0 (hvorfor?). Det finnes en rotasjonsmatrise R slik at Ry = (0,0,d). Husk at |Ry| = |y| for en rotasjonsmatrise.

For 2r < d, kan du prøve å bruke trekantformelen for å vise at det ikke kan finnes noen slike z. For 2r = d, bruk trekantformelen igjen, og konkluder med at z-x og z-y må være parallelle (hvorfor? Hint: Cauchy's ulikhet, simplifiser uttrykket |a+b| = |a| + |b|), og finn dermed et eksplisitt uttrykk for den eneste z som kan oppfylle kriteriene.

[krje1980]

Takk for tipsene, Charlatan.

Jeg har prøvd å komme litt videre basert på det du skriver, men jeg står temmelig fast . Tror det er fordi jeg har tenkt såpass mye på oppgaven at jeg har sett meg "blind" på den.

[Charlatan]

Vis hvordan du har tenkt, så kan jeg kanskje hjelpe deg videre.

[krje1980]

OK.

La oss anta at [tex]\vec{x}= 0[/tex]. Uttrykket vi skal jobbe med er, slik jeg ser det, et geometrisk problem, så vi kan derfor fint forskyve den geometriske figuren slik at vektoren [tex]\vec{x}[/tex] blir lik [tex]0[/tex]. Det er jo samme prinsipp vi bruker f.eks. til å regne ut areal av parallellogram gjennom forskyvning av vektorer. Her tar jeg utgangspunkt i [tex]\mathbb{R}^{3}[/tex].

Vi antar så at:

[tex]|\vec{z} - \vec{x}| = |\vec{z} - \vec{y}| = r[/tex]. I og med at [tex]\vec{x} = 0[/tex] får vi da at:

[tex]|\vec{z}| = r[/tex]

Eller:

[tex]2|\vec{z}| = 2r[/tex]

Videre følger det av triangulærulikheten for figurer i [tex]\mathbb{R}^{3}[/tex]:

[tex]|\vec{z} - \vec{x}| + |\vec{z} - \vec{y}| \geq |\vec{x} - \vec{y}|[/tex]. Ettersom vi antar at: [tex]|\vec{z} - \vec{x}| = |\vec{z} - \vec{y}| = r[/tex] får vi da at:

[tex]|\vec{z} - \vec{x}| + |\vec{z} - \vec{y}| = 2|\vec{z} - \vec{x}| = 2|\vec{z}|[/tex] (ettersom vi antar at [tex]\vec{x} = 0[/tex]).

Vi har så gitt i oppgaven at: [tex]|\vec{x} - \vec{y}| = d[/tex]. Dette gir:

[tex]2|\vec{z}| = 2r \geq d[/tex].

Ettersom vi i a) har fått oppgitt at [tex]2r > d[/tex] oppfylles ulikheten for et uendelig antall [tex]\vec{z}[/tex]. Videre, når i b) vi får oppgitt at [tex]2r = d[/tex] vil dette oppfylles når [tex]2|\vec{z}| = |\vec{x} - \vec{y}|[/tex]. Altså må [tex]\vec{z} = \frac{|\vec{x} - \vec{y}|}{2}[/tex], og fra triangulærulikheten vet vi at vektorene da må ligge på linje. Og det følger i c) at når [tex]2r < d[/tex] kan ikke ulikheten oppfylles.

Dette er, i mitt hode, den logiske måten å løse oppgaven på, men egentlig har jeg vel gjort det samme her som jeg gjorde i første innlegg, bare at jeg setter [tex]\vec{x} = 0[/tex] basert på tipset ditt. Jeg klarer liksom ikke å omstille meg fra å tenke slik jeg gjorde i begynnelsen.

Dersom du kan hjelpe meg litt videre så er jeg veldig takknemlig!

[Charlatan]

Det du har vist her er at dersom |z-x| = |z-y| = r, så må 2r >= d. Men oppgaven er jo å vise at det finnes uendelig mange z slik at |z-x| = |z-y| = r, så du kan ikke ta utgangspunkt i (anta) likningene |z-x| = |z-y| = r (for hva er z?).

Prøv å løse oppgaven dersom x = 0, og y = (0,0,1) (og da at d = 1), så ser du kanskje et mønster. Skriv z = (z_1,z_2,z_3) og finn en likning for disse variablene (som har et uendelig antall løsninger).

[krje1980]

Jeg forstår ikke helt hvordan jeg skal sette dette opp. Skal jeg ta utgangspunk i [tex]|\vec{z} - \vec{x}| + |\vec{z} - \vec{y}|[/tex] og sette inn de verdiene du foreslår for [tex]\vec{x}[/tex] og [tex]\vec{y}[/tex]?

[Charlatan]

Kan du finne uendelig mange z som oppfyller likningene |z-x| = |z-y| = r, dersom x = 0 og y = (0,0,1) ?

Det er dette oppgaven spør om, bare for generelle x og y.

[krje1980]

Men da får vil vel:

[tex]\left|\begin{bmatrix}z_1 \\ z_2 \\ z_3\end{bmatrix}\right| = \left|\begin{bmatrix}z_1\\ z_2 \\ z_3\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}\0 \\ 0 \\1\end{bmatrix}\right| = r[/tex].

Og hvordan kan:


[tex]\left|\begin{bmatrix}z_1 \\ z_2 \\ z_3\end{bmatrix}\right| = \left|\begin{bmatrix}z_1\\ z_2 \\ z_3\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}\0 \\ 0 \\1\end{bmatrix}\right|[/tex]?

[Charlatan]

F.eks z1=z2=0, z3 = 1/2. Sett opp likningene!

[krje1980]

Ok. Prøver meg litt videre. Tar normen til vektorene og får:

[tex]\sqrt{z_1^{2} + z_2^{2} + z_3^{2}} = \sqrt{z_1^{2} + z_2^{2} + (z_3 - 1)^{2}} = r[/tex]

Kvadrerer og får:

[tex]z_1^{2} + z_2^{2} + z_3^{2} = z_1^{2} + z_2^{2} + z_3^{2} - 2z_3 + 1 = r^{2}[/tex]

Dette kan forkortes til:

[tex]-2z_3 + 1 = r^{2}[/tex]

Løser og får:

[tex]z_3 = \frac{1 - r^{2}}{2}[/tex]

Er jeg på riktig spor nå?